V. Toute corde d’un cercle, tan- Quand deux coniques ont un

genle à un cercle concentrique, a double contact, toute tangente à son milieu au point de contact. l'une est divisée harmoniquement

par le point de contact, l'autre conique et la corde do contact |3iî>.

Ex. III).

La corde de contact des deux coniques n'est autre chose que la projection de la ligne à l’infini des deux cercles. Le théorème donné au n° 23G, Ex. IV, est un cas particulier du précédent.

VI. Étant donnés trois cercles con- Étant données trois coniques ayant

centriques, toute tangente à l’un est un double contact suivant la même

divisée par les deux autres en qua- droite, toute tangente é l'une est

Ire points dont le rapport anhar- divisée par les deux autres en

monique est constant. quatre points dont le rapport an-

harmonique est constant.

Le premier théorème est évident , puisque les quatre longueurs sont constantes. Le second peut être considéré comme une extension de la propriété anharmonique des tangentes à une conique. De mémo, le théorème (276) relatif aux rapports anharmrfniques dans les coniques ayant un double contact s’obtient immédiatement on projetant les coniques suivant des cercles conrentriipies.

VIL Nous avons déjà dit qu’il suffi.sait do démontrer le théorème de Pascal pour le cas du cercle; mais on peut, en s’appuyant sur Ieii’’8.’f3, simplifier encore la figure en supposant que la droite qui joint l’intersection de (AB, DE) à celle de (BC, EE) se projette à l'infini. Il suffit alors de démontrer que, si les côtés .\B et DE d’un hexagone inscrit dans un cercle sont res()Octivement parallèh's, il en estdemémedes autres côtés CD et AF, démonstration qui ne demande que des considérations trèsélémentaires.

VIII. Un triangle est inscrit dans une conique, deux de ses côtés passent par deux points fixes : trouver l'enveloppe du troisième (272, Ex . III ).

MÉTIIOnE DES PnOJECTIONS. 449

l’rojelons la conirjiio suivant un cercle, do manière que la droite qui joint les doux points fixes s’éloigne tout entière îi l'infini; le problème se ramène au suivant ; un triangle est inscrit dans un rercle, tleux do ses côtés sont parallèles à deux droites fixes : trouver l'enveloppe du troisième. Un des angles du triangle étant donné, l’enveloppe est un cercle concentrique : donc, dans le cas général, l’enveloppe est une conique ayant, avec la conique donnée, un double contact sui\ant la droite qui joint les points fixes.

IX. Déterminer les propriétés projectives d’un quadrilatère inscrit dans une conique.

Projetons la conique suivant un cercle et le qu ’drilalère sui.ant un parallélogramme (3o2). 1,’interscction des diagonales d’un par.dlélogrammc inscrit dans tin cercle est le centre du cercle : doue l'intersection des diagonales du quadrilatère inscrit dans une eoniipie e.-t le pôle de la droite qui joint les intersections des côtés opposés. De plus, si par les sommets de ce parallélogramme on mène des langenb sau cercle, les diagonales du quadrilatère ainsi formé passent aussi par le rentre, et sont les bissectrices des angles compris entre les premières diagonales : donc les diagonales du quadrilatère in.scrit et celles du quadrilatcre circonscrit corres[iondant passent par un même point et forment un faisceau barinonitpie.

X. Le lieu des centres des coniques circonscrites il un (piadrilatère est une conique passant par les milieux des côtés de ce quadrilatcre (3-28, Ex. XV).

XI. I.e lieu des points divisant dans un rapport donné les cordes parallèles d’un cercle est une ellipse ayant un double contact avec ce cercle (103).

Le lieu des pôles d’une droite fixe, par rapport à une conique circonscrite à un ipiadril.itère, est une I conique, qui rencontre cbaque côté I du quadril.'lèie en un point formant une divi-i.m liarmnnique avec les extrémités de ce côté, et son intersection avec la droite fixe.

Si, par un point fixe O, on mène une sécante rencontrant une conique en et It, et qu'on prenne sur cette séc.inte un point P tel, que (0.-\BP) soit constant, le lieu du point P est une con que ayant un double contact avec la conique donnée.

353. Nous allons appliquer la méthode des projections à plusieurs propriétés des foyers, en nous appuyant sur lu défi-