CHAPITRE XVII

lerniiiieiil sur la droile MN. I^a section est donc une conique dans laquelle MN est le diamètre correspondant à QS; ce sera une ellipse ou une livperhole suivant que MN rencontrera les droites 01^ et OK d’un même côté ou de part et d'autre du sommet, et une parabole lorsque MN sera parallèle à l'une de ces droites.

Dans eette démonstration, nous avons supposé que QS cou- ]iait le cercle en des points réels; s’il n’en était pas ainsi, il surfilait de prendre, au lieu du cercle AB, un autre cercle parallèle ni) qui rencontrerait la courbe en des points réels.

HOo. Lorsqu'un ptan sécant rencontre la hase il 'un cône circulaire suivant une droite OS, les diaintires conju"ués à QS pris dans le cercle et dans ht section se coupent sur QS.

Le, tbéorème est évident quand la droite QS (devenant

alors qs) rencontre le cercle en deux points réels, puisqu’alors les deux iliamèlres conjugués passent par le milieu r de qs

Fi". lOf).

kl

(//g'. lOf)). Besteà examiner leoasoii les intersections de qs et du cercle cessent d’ètre réelles. Le diamètre df, (|ui divise en deux parties égales les cordes parallèles à QS rians le cercle, se projette suivant un diamètre DF divisanten deux parties égales les cordes parallèles à qs dans un cercle parallèle au premier (:Mil ). Lelieu des milieux des cordes du cône parallèles à ^s^est donc un plan Odf. Bar suite, le diamètre conjugué de QS dans une section quelconque est l’intersection du plan Odf avec le plan

de celle seclion, cl passe par le point R, trace de la droite QS sur ce plan Odf.

Les rectangles RD. RF et R/, des segments RD, RF, R", R/- {fis- loy) déterminés sur les diamètres conjugués ù QS dans le cercle et la section par leur intersection R, sont entre eux dans le même rapport que les carrés des diamètres parallèle et conjugué il QS dans la section.

Lorsque qs rencontre le cercle en des i)Oinls réels, le théorème est évident, puisque rs = dr.rf. Nous avons démontré, en général, que les droites gh , df, DF étaient situées dans un plan mené par le sommet. Les points 1) et d sont donc les projections de g, c’est-à-dire sont situés sur une droite passant par le sommet. Par suite, les triangles semblables (comme au numéro 3CV) nous donnent

dr. rf : DR . RF :: gr. rh : "R. R/i ;

et puist|ue les rectangles dr.rf et gr.rh sont dans le même rapport que les carrés des diamètres parallèles, il en est de même des rectangles DR.RF et gR.R/i.

Ce théorème nous permet, étant données la seclion gshq et la droite QS, de trouver DR.RF, c'est-à-dire le carré de la tangente menée du point R au ceiclc dont le plan passe par QS.

3l)G. On peut toujours projeter une conique gshq suivant un cercle, de telle sorte qu’une droite 'l'I. située dans son plan et ne lu coupant pas se projette à l'in/ini.

Il sullit, pour démontrer ce théorème, de faire voir qu’on peut lonjours trouver le sommet O d’un cône, ajant puni' hase la conique donnée et dont les sections parallèles an plan OTL soient des cercles; car alors ces sections satisfont à la question. D'après le théorème précédent, la distance OL, du sommet O à rinlerseclion Lde Tl. avec son diamètre conjugué, est donnée, puisque le plan OTL rencontrant le cône suivant un

cercle iormimenl petit, le rapport OL ; ^^L. L/r est le même que celui de deux diamètres connus de la section; d’ailleurs OL est situé dans le plan perpendiculaire à TL, puistju’il est

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parallèle au diamèlre du cercle perpendiculaire à TL. Ricir du reste ne limite la position de O, qui doit se trouver sur

une circonférence déterminée dans un plan mené par le point L perpendiculairement à TL.

3G7. Lorsqu'une sphère inscrite dans un cône droit AOB est tan fiente au plan d'une section MPN, le point de contact F est un foyer de cette section, et l'intersection du plan de la section et du plan de contact ADB de la sphère avec le cône est la directrice correspondante .

Inscrivons une deuxième sphère adh i lo) entre le plan

de la section et le sommet O du cône : soient adh son plan de

Fi|;. no.

contact avec le cône et F' son point de contact avec la section. Joignons un point quelconque P de la section au sommet (J; cette droite PO rencontre les plans de contact en I) et </. Les tangentes menées par un point à la sphère étant égales, on aura