CHAPITRE XVII

La projection orthogonale MM' d'une droite est égale au produit de cette droite PQ par le cosinus de l'angle compris entre cette droite et sa projection {*).

Cela esl évident, comme on peut le voir en se reportant à la fig. 3, où MM' est la projection de PQ.

Corollaire I. — Le rapport entre des droites parallèles et leurs projections orthogonales est constant.

Corollaire II. — Les droites parallèles au plan de projection se projettent en vraie grandeur.

L'aire d'une Jigure plane est dans un rapport constant avec l’aire de sa projection orthogonale.

Prenons les ordonnées de la ligure perpendiculairement .i l’intersection du plan de cette figure et du plan de projection: les ordonnées de la projection seront perpendiculaires à cette intersection ; leur rapport avec celles de la figure sera constant et égal à celui du cosinus de l’angle des plans à l’unité. Et on sait (ce que nous prouverons au n° 394) que, lorsque deux figures sont telles, que les ordonnées de l’une soient dans un rapport constant avec les ordonnées de l’autre, les aires de ces figures sont entre elles dans le même rapport.

Le cercle peut être considéré comme la projection orthogonale d’une ellipse.

Prenons pour plan tle projection le plan conduit suivant une parallèle au petit axe de l’ellipse et faisant avec le plan de l’ellipse un angle dont le cosinus est égal à les droites parallèles

au petit axe se projettent en vraie grandeur, celles parallèles au grand axe sont diminuées dans le rapport de h à a; la projection de l’ellipse est donc (163) un cercle de rayon b.

369. Appliquons les principes précédents à la solution du problème donné dans l’Exercice Vil du n“ 231 : Trouver le

(•) On, ce qui rovienl au nu’im*, «if l’aiqjlt’ lait par la droite avtH' le plan de projection

.HËTIIUDE DES PROJECTIONS. 4%

raj'on R du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une conique.

Soient a, j3, y les côtés du triangle, A son aire; la géométrie élémentaire fournit la relation

Si l’on projette l’ellipse suivant un cercle de rajon h, et que l’on désigne para', A' les projections des côtés et de l’aire du triangle, il vient

Mais, les droites parallèles étant dans un rapport constant avec leurs projections, on aura également

en représentant par b', b", b” les diamètres conjugués parallèles à a, p, y. '

Les aires A et A' sont liées d’ailleurs par la proportion (368)

Donc

Par suite.

(*) O’ite drmunslration du Ihëorèmc de Mac-Ciill»(;h est due au D*" Graves.

CtlAFITRE XVtIf.