g/i — q/ )/ 4- a( /(/•— bg]g' + y {fg — c/i)/i

ou, eu employant la notation du n" 151,

\a' 4- BA' 4- Ce' 4- aF/” 4- 7‘^'tg' 4- 2 H h', ou bien, d’après le théorème de Taylor,

If

» dg dh

INVARIANT» KT COVABIANTS DBS SYSTÈMKS DK CONIQUES. 4?'

On a d’ailleurs

0' = \'a -+- B'6 4- Ce -h aF'y-f- iW'h,

comme on peut le voir, en permutant les accents dans l’expression de 0.

Si l’on élimine k entre l’équation A S -+- S' = o, et celle du troisième degré en k, l’équation résultante

AS” — 0S'’S4-0'S'S’-A'S*=o,

qui est évidemment du sixième degré, représente les trois couples de droites qui joignent les quatre points d’intersection des deux coniques (238).

EXERCICE

Trouver le lieu de l’interscclion des normales menées à une conique par les extrémités d'une corde qui tourne autour d'un point fixe (*. p).

L’équation de la conique étant S = ^ -h — i = o, les points dont

les normales se coupent en un point donné (x', /') se trouvent à l'intersection de S avec l’hyperbole, S' = 2 (c’.rv ■+■ l/^r'x — n’x'r) = o (181 , Ex. 1). Ce qui précède permet de former l’équation des six cordes joignant les pieds des normales menées par et en exprimant qu’elle

est vériliée par 2, p on obtiendra l’équation du lieu cherché. D’ailleurs on a

rt’A’ > \ J n

y = — ia‘b'c'x'y.

Par suite, le lieu a pour équation

(rt’fix — A=»r— c’2|5)*

-+- 2(rt‘x’ -f- A’r’ — c')[n'Px — xy — r’a^) H- ~ “

qui représente une courbe du troisième degré. Cette courbe se réduit à une conique lorsque le point donné est sur l’un des axes (ce qui revient à faire a z= o dans l’équation précédente), et alors l’axe fait partie du lieu, comme on peut du reste le voir géométriquement. Elle se réduit encore