CHAPITRE XVlll

à une conùiue lorsque le point est situé à l'infini, c’est-à-dire lorsqu'on doniaïule le lieu de 1 intersection des normales menées aux extrémités des cordes parallèles à une droite donnée.

371. Lorsqu’cii passant d’un système d'axes de coordonnées (cartésiennes ou trilinéaires ) à un autre, S et S' se transformenl en S et S', /i .S -t- S' devient évidemment /> S -+- S', et le coefficient h reste invariable. Les valeurs de h pour lesquelles /iS-t-S' représente des lignes droites est donc indépendant des axes auxquels S et S' sont rapportés; par suite le rapport entre deux quelconques des coefficients de l’équation du troisième degré qui détermine k (370) est constant, quelle que soit la transformation que l’on ait fiut subir aux axes (*).

Les quantités A, 0, 0', A' s’appellent, pour cette raison, les invariants du système des coniques S et S'. Si donc, après avoir ramené à leurs formes les plus simples les équations de deux coniques S et S', on arrive à une relation homogène entre A, 0, 0', A', on peutaffirmer que la même relation subsiste, quelle que soit la position des axes de coordonnées. Il est dès lors possible d’exprimer, en fonction de ces quatre quantités, la condition nécessaire pour que deux coniques soient assujetties à une relation indépendante du choix des axes.

Les exercices suivants sont relatifs au calcul des invariants dans quelques cas d’un emploi fréquent.

EXERCICES

1. Calculer les invariants do deux coniques rapportées à leur triangle autopolaire commun.

(') It est faeitc itc voir, en cflecluant tes calculs de Iraiisrurnialiuii, que si dans S et S’ on miiplace x, z par

/x m) -)- n I, /'x-t-m'r-t-n'r, fx -t- in\r -I- n’:,

les qiiamili-s A, 0, 0', A’, relatives aux nouveaux axes, se déduisent des quantités coriespondantes relatives aux anciens, en les multipliant res|icetiveinent par le carrv! du déterminant

I / m ft

r m- II’

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈXES DE COSlgUES. 4”^

Les équations des coniques sont alors

S = «.r> -I- by H- cz\ S'= b'r’-h c'z'.

Si, ]X)ur simplifier, on y remplace x, y, z |Kir x ^ a' , y ^JP , z p^',dc manière à ramener S' à la forme .r- -t-.r ’-t- elles deviennent

S = nx'-+- i r’ + S' = j:’ -I- î’,

et on a

A = abc, H = bc + ca nb, 0' — « -I- A c A' = i .

L'équation S -h AS'= o représente deux droites pour les valeurs de 4 données par

4 ’ -t- /’(« + A -f- f) -e 4 ( Ac -f- en -f- nb) -t- nbc = o,

c'est-à-dire lorsijue 4 est égal à l’une des trois quantités — n, — b, ~ c.

IL S' représi'ntc, comme plus haut, x'-i- r’-f- et S l’équation générale; calculer les invariants.

RÉP. H = ( Ar — — b’) («a — A’) = A -e B C;

H' = rt A -f- c.

III. Lorsque S et S' représentent les deux cercles jr’-e v’— /■’, (x — a)’ -*-()•— ^ /•'*, on a pour les invariants

A = -r>, H= »>-+- /■”, H'= a’-t- (i*- r’- ar", A'= - r".

Et si I) est la distance des centres des deux cercles, S -i- 4S' représente un couple de droites pour les valeurs de 4 vérifiant l'équation

r>-r(ar>-e /■"— D’)4 -4-(r’-4- Ar"— D=)4’ -+- r"/i»= o.

Mais comme S — S' représente deux droites (dont l’iifie est située à l'infini), il est évident que — i est une des valeurs de 4, et 4 -i- i un diviseur du premier membre do l’ét]uation. En effectuant le calcul, on a, pour déterminer les deux autres valeurs de 4,