IV. Trouver l’équalipn de la développée de la parabole

S = — 4'«r, S' = ax r -h i[ini — x')/ — 4"' v'

A = — 4"é> H = o, ©' = — ^iii[iin — x), A' = 4"y';

et par suite pour l’équation cherchée

•i7 mr' = 4 (•'’ — )’•

11 faut observer que les intersections de S et S' comprennent non-seulement les pieds des l/vis normales qu’on peut mener par un point à une conique, mais encore un point situé à l’inlini sur l’axe des x. Los six cordes d intersection de S et S' comprennent donc trois cordes et trois parallèles à l’axe menées par les pieds des normales. La méthode employée (370) n’est donc pas la plus simple pour résoudre le problème dans le cas de la parabole ; l’équation qu elle fournit n’est autre que celle donnée au n° 227, Ex. XII, multipliée par le facteur

4 «i(a/«y -e v'x — inir') —

373. Lorsque S' représente deux droites, on a à' = o. Pour savoir ce que signifient alors 0 et 0', on peut supposer que ces droites sontx = o etj- = o, puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, les propriétés des invariants sont indépendantes des lignes de référence. Le discriminant de S -f

INTA RIANTS ET COVAHIANTS DES SïSTfeMES DE CÇNIQUES. 4? 7

qui s'oblienl en remplaçant h par h + h dans A, est égal à A -4- ik{fg— ch) — cA’; le coefficient de A’ s’évanouit pour c=o, c’est-à-dire lorsque le point (ar, j) se trouve sur la conique S; celui de /r s’annule lorsque/Jj' = c/i, autrement dit (228, Ex. III) lorsque les lignes x et sont conjuguées par rapport à S. Donc : Lorsque S' représente deux droites. A' est nul ; la condition 0'= o exprime que l'intersection des deux droites se trouve sur S, et 0 = o que les deux droites sont conjuguées {‘29^) par rapport à S.

L’équation 0’ = 44^^** vérifiée lorsque A -t- 0/r -i- 0'A’ est un carré parfait, exprime (372) la condition qu’une des droites représentées par S' est tangente à S. On peut, du reste, le voir facilement sur l’exemple précédent, où l’on a

0' — 4 A0' =(Ac—/>)(ea

K.XERCIC.ES.

1. Étant données cinq coniques S,, S,,..., il est toujours possible d'une inlinité de manières de déterminer les constantes /,, de telle sorte que l’expression

soit ou un carré parfait L’, ou un produit MN de deux facteurs linéaires M et N; démontrer que les droites L envelop|>ent une conique fixe V, par rapport à latiuelle les droites M et N sont conjuguées.

On lu’ut déterminer V de telle sorte que les invariants H correspondant à V et à chacune des cin(i coniques données soient mils, puisque pour exprimer ces conditions on obtient cinq équations de la forme

An, -H BA, -e Ce, -i- a F/, -i- aGg, -i- a II A, = o,

qui sulTisent pour faire connaître les raïqiorts mutuels des cocllieients A, B.. . . de l’équation tangentielle de V. On a ainsi

A (7, o, A «J -I- . . . = o, . . . , rtj -H . . . = o,

par suite

.V(/,n, -H //q - /,«, -h Ipi,) -h . . . — o,

autrement dit, l'invariant H de V et de chacune des coniques du système /,S, -t- /,S, -t- /jS, -t- /,S, ^ r- 0