CHAPITRE XVai

est nul; ce qui clémonlre le théorème. Lorsque la droite M est donnée, N passe (wr un point fixe qui est le pôle de M par rapport à V.

II. lÆrsipie six droites x, y, i, «, e, »• sont tangentes à une conique, les carrés . . . vérifient la relation linéaire

Ce théorème est un cas particulier de celui de l'Exercice I, mais peut se démontrer de la manière suivante. Si l'on exprime (loi) que les six droites (>x 4- fxjr v) sont tangentes à une conique, on obtient six équations qui permettent d'éliminer les coelficients A, B, C,... et la condition pour-que ces droites soient tangentes à une môme conique peut se mettre sous la forme

I *î pî

qui exprime aussi que les carrés indiqués vérifient une relation linéaire.

III. Lorsqu’on se donne seulement quatre coniques S,, Sj, S,. S,, et que l'on cherche à déterminer une conique V, comme dans l'Exercice 1, de telle sorte que les invariants h soient nuis, on n'obtient que quatre conditions, et un des coelTicicnts de l’équation tangenticlle de V reste indéterminé; en exprimant les autres coefficients en fonctions de ce dernier, on peut mettre l’équation tangenticlle do V sous la forme ï 4- X ï'= o, qui représi'nte une conique tangente à quatre droites fixes. Nous démontrerons directement, plus tard, qu’on peut trouver quatre systèmes de constantes telles, que l'expression /,S, 4- /jSj 4- /jS, 4- l,S, soit un carré parfait.

11 est facile de voir, en prenant pour .M la droite à l’infini, que lorsque M est une droite donnée, le problème de déterminer les constantes . . de telle sorte que l’expression /,S, 4-. . . soit de la forme MN, admet une solution et n'en admet qu’une seule : le théorème de l’Exercice I montre alors que N est le lieu du pôle de M par rapport à V. Comparer à CO résultat celui de l'Exercice VIll du n° 2i8.

374. Tivuver l'équation du couple des tangentes menées à S aux points où celte conique est coupée par la droite 1.x -I- uy -h 'J Z. — L’équation d’une conique, qui a un double