INVARIANTS KT COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES

conlaci avec S, aux poinls où S renconiro celle droile, élani /i S -f- { >. JT + fAj-i- V Z )’ = O, loul se rédiiii à délerminer k de lelle sorle que celle équalion représenle deux droites, el il esl facile de voir que, dans ce cas, non seulemenl A', mais encore 0', s’évanouil. Si l’on pose

i = A X’ -t- B fx’ -4- C >• 4- a F uv -I- 2 G vX a H Xu,

deux des valeurs de k élani nulles, la iroisièmc sera donnée par

L’équaiion du couple de langenles esl donc ZS= A(Xxr -+- ny -4- 'jzf.

Lorsque la droile \x + jxj -(- vz esl langenle à S, le couple de langenles coïncide avec celle droile, on a alors 1 = o \15i).

Le problème qui précède renferme comme cas parliculier la délerminalion de l’équalion des asj niploies d’une conique définie par l’équalion générale, en coordonnées irilinéaircs.

375. Interprétation géométrique de l’équation 0 = o dans le cas le plus général. — Prenons pour iriangle de référence un iriangle aulopolaire par rapporl à S; l’équalion de S est alors de la forme ax‘‘ + by‘‘ cz'‘ (258), el l’on a à la fois f=o, g=o, hz=o. La valeur de 0 (370) se réduit à bca! ■+- cab' abc' el devient nulle lorsqu’on an' = o, b' o, c'=o, c’esl-à-dire si l’équalion de S' rapportée au même triangle est de la forme f’yz -h g'zx -h li'xy. Donc ; 0 devient nul toutes les fois qu’un triangle inscrit dans S' est autopolaire par rapport à S.

En prenant pour triangle de référence un triangle aulopolaire par rapport à S', on a /" = o, g' = o, h' = o, el la valeur dé 0, qui esl alors

( bc — /')a' -I- (ca — g‘‘)b' ■+■ [ab — /i’ )«/,

ne peut devenir nulle que si l’on a bc— f\ ca = g\ ab = /i=; si l’on observe que la relation bc = f' exprime que la droite x esl langenle à S, on voit que 0 s’annule encore quand un triangle circonscrit à S est autopolaire par rapport à S'.