I.NVARUMS ET COVtRUNTS UES SYSTÈMES DE COSIQLES

EXERCICES

I. Lorsque (ieux triangles sont autopolairos par rapport à une conique S', leurs six sommets sont sur une eoni(iue, et leurs six côtés sont tangents à une autre conique (35t‘>, Ex. Vil).

Faisons passer une conique par les trois sommets du premier triangle, et par deux des sommets du second que nous prendrons pour triangle de référence xri. Celte conique étant circonscrite au premier triangle, on a «'= O, c’est-à-dire « -t- ô -t- c = o (371 , Ex. II); et comme elle passe par deux des sommets de.r> î, on a o = «, l> ~ o, et par suite c = o; elle passe donc parle troi.siémc sommet du tleuxième triangle. I.a deuxième jwrtie du théorème se démontre de la môme manière.

II. Le carré de la tangente menée du centre d’une conique au cercle circonscrit à un triangle autopolaire est constant et égal à -e h’ (.M. Faire).

C.0 théorème n'est que l'interprétation géométrique de la condition 0 = 0, appliquée à la valeur a’-t- — r’ — ô' trouvée pour 0 au

n" 371, Ex. IV. Il peut encore s’énoncer de la manière suivante ; Tout cercle circonscrit à un triangle aulopolaire coupe orthogonalcment le cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. En eirel, le carré du rayon do ce dernier cercle est égal à «’ ■+- !>'.

III. Le centre du cercle inscrit dans un triangle autopolaire par rapport à une hyperbole équilatèro se trouve sur la courbe.

Il suffit pour le démontrer de faire dans 1a condition 0' o,

0' ayant la valeur donnée au n" 371 , Ex. IV.

IV. Si le rectangle construit sur les segments d’une des hauteurs d'un triangle circonscrit à une conique est constant et égal à .M, le lieu du point de concours des hauteurs est le cercle .r’ -i- r'= «’-t- 6’ -i- M.

La condition jmur qu’un triangle autopolaire par rap|>orl à un cercle soit circonscrit à S s’obtient en égalant à zéro la valeur de 0 trouvée au n° 371, Ex. IV. D’ailleurs, lorsqu’un triangle est autopolaire par rapport à un cercle, le centre du cercle est le point de concours des hauteurs du triangle { 278 , Ex . 111 ) et le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments d’une des hauteurs (pris avec le signe -4- si le triangle est obtusangle, et avec le signe — s’il est acutangle ). En faisant dans l’équation précédente M = o, on retombe sur le lieu décrit jwr le sommet des angles droits circonscrits.

V. Si le rectangle construit sur les segments d’une des hauteurs d'un