INVARIAM'S ET COVAHIA^TS DES SYSTÈMES DE CONIQUES

Cl en calculant les invariants, il vient

CO qui donne

Ccvie équation est du genre (371) de celles qui sont in- ■dépendantes du choix des axes de coordonnées; elle subsiste donc entre les coefficients des équations des coniques, quelie que soit leur forme primitive, pourvu que, par une transformaiion convenable, on puisse les ramener au type indiqué plus haut. Il est du reste facile de voir (comme au n“ 373, Ex. I) que deux des sommets d’un triangle circonscrit à S se trouvant sur S', il en est de même du troisième, lorsque la relation 0’ = 4A0' est satisfaite.

EXERCICES

1. Trouver la condition à laquelle doivent satisfaire deux cercles ;iour T]u'on puisse tracer un triangle inscrit dans l’un et circonscrit à l'autre.

Si l’on pose D'— r’ — r” = G, on a pour la condition cliercbée (371 , Ex. III)

(G — 4;>(G - /■”)= O ou (G -t- r»)> = 4 r V” ;

.par suite, D’ = r"± ’irr': c'est la formule connue d'Euler pour exprimer

(•) Ct?lU* condhion a êlt» indiquée pour la prnniitTO f«>i» par M. Cayloy (Phi/osophicni t. VI, p, pq), qui l’a dédulto do la théorie dos fonc-

tions elliptiques. M. Cayloy a démontré aussi, par le même procédé, que si la racine carrée de A*0 -+- A0'-t- A% développée suivant les puissances de A,

était de la forme \ ItA -f- CA*-f-, . les conditions pour qu'on puisse tracer un polygone de /< côtes inscrit dans IJ ci circonscrit à V' étaient rc^pcctivoiiiont dans le cas de n = 3, 5, 7,. . *

•4*1 dans le cas de /f ^