l> -4- Idl' = O

INVABUJITS ET COVAHIANTS DES SYSTÈMES DE COM(JlES. 4^®

on (lésisnanl par 1' l’équation tangenlielle de S' cl posant

<I> = (6c'-t- h'c — 2 -4- {ca -+■ c'a — ^g{f'

+ (al)' -j- a' b — 2/ili')'j' -4- 2{gli' ■+■ g'h — n f — a'f) uv

-4-2{/i/'+ h'f— hg' —h'g)'A -4- 2 (/g^' -4-/'^' — c/l'— c'h'Aix.

L’équation langentidie de l’enveloppe de ce système est donc (298)

Mais puisque S -4- AS' et l’équation tangenlielle correspondante représentent un système de coniques passant par quatre points fixes, l’enveloppe du système n’est autre chose que ces quatre points, et l’éijuation d>’ = 4--' est la condition cherchée pour (|ue la droite Xar -i- ii.y -4- yz passe par un des quatre points. On aurait pu obtenjrce résultat de la manière suivante. Par quatre points on peut, en général, faire passer deux coniques tangentes à une droite donnée (345, Ex. I\'); mais quand la droite passe par l’un des quatre points, les deux coniques coïncident et se réduisent à une seule qui louche la droite en ce point. D'ailleurs, la relation ^’ = 4^-' exprime que les deux coniques du système S -4- A S', qu’on peut mener tangenlicllcmenl à > a; -4- pij -t- v2, coïncident.

On peut observer que l’équation d> = o n’est autre chose que la condition obtenue au n“ 335, pour exprimer que la droite /.x-h^xr-t-vz est divisée harmoniquement par les deux coniques,

378. Trouver l'équation des quatre tangentes communes à deux coniques.

Ce problème est le réciproque de celui du numéro précédent et peut être résolu de la même manière. Si 3 = o et i' = o sont les équations langenlielles de deux coniques, 2-4- A'2' = o sera (298) celle d’une conique inscrite dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes qui leur sont communes. L’équation irilinéaire correspondante à 2 4-A-2'=o sera, d’après le n“ 285,

AS -4- A r -4- A 'A' S'=o,

en posant

ClUrlTRE XVIII.

F =(BC' 4- B'C- aFF')x’ + (CA' + C'A - a C. G

-I- ( A B' -+- A' B - 2 II II' 4- 2 (G II' -+- G’ II - A F' - A' F) .» «