H8 CHAPITRE XVIII

règle donnée, une nouvelle fonction des équations S transformées suivant la même substitution.

Les invariants et les covarianls d’un système de courbes ont cela de commun que leur signification géométrique est indépendante des axes auxquels sont ra|)portées ces courbes; mais ils diffèrent en ce que les invariants ne sont fonctions que des coefficients, tandis que les covariapts sont fonctions des coefficients et des variables.

380. Il est encore un autre cas dans lequel on peut pré\oir la transformation obtenue par une substitution linéaire. Supposons que nous ayons formé la condition pour que la droite Ix -+■ f/.r-t- yz soit tangente à une courbe, ou, plus généralement, pour qu’elle soit liée à une courbe ou à un système de courbes par une rclatfon indépendante des axes auxquels ces courbes sont rapportées; il est évident que si, pour changer de coordonnées, nous transformons les équations des courbes, la condition se formera au moyen de ces équations transformées, en suivant la même règle que celle employée pour la déduire des équations primitives. Mais l’expression de cette condition, par rapport aux nouveaux axes, peut aussi s’obtenir par une transformation directe de son expression primitive. Soit

}.[lx -t- mr-hnz)-^- u{l’x-\- in'y+ ii'z) ■+■ v{ l"x -+- nt"y -f- n” z ) = y X ■+■ a'jr- -+- y' Z

ce que devient Âx -4- jxy -4- vs dans la transformation des courbes, on aura

= /À -H l'fx -I- X"v, II' = m 1 -+- m'u 4- m"v, v' = n ). -t- /l'jLi 4- n"v ;

par suite

), = L).' 4- L'(a' 4- L'v', fA -- M 4- M>' 4- M"'/,

v = N),'4- N'(a'-+-NV,

et en introduisant ces valeurs dans la condition obtenue primitivement en fonction de y. et v, on trouvera en fonction

INVAHIAXTS ET COVABIAXTS DES SVSTtMES DE COMIQUES. 4%

do U.', v', une expression de celle condilion qui ne pourra diirércr que par un Tacieur conslani de celle qu’on obliendraiien parlanl des équalions iransformées des courbes. Les fonctions que nous venons de considérer s’appelleiil des contrevariants. Les conlrevariants onl cela de commun avec les covariants, qu'un contrevariant, comme, par exemple, l'équation langenlielle d'une conique [hc — -=o, peut être ramené par transformalion linéaire à une équation de même forme (b'v' — . . . = o, et dont les coefficients sont déduits de ceux de l’équation irilinéaire transformée de la conique. Mais ils diiïérent en ce que X, ja et v ne doivent pas être transformés en suivant la même règle que pour x, y, z, c’est-à-dire remplaçant X par /X -+- m -h nv, mais bien d'après la règle indiquée plus liant.

La condition, <1' = o trouvée au n” .177, est évidemment un contrevariant du système des coniques S et S'.

:i8i. Il est facile de voir que l'équation trilinéaire d’une conique covarianie de S et S' peut s’exprimer en fonction de S, S' et P, tandis que son équation langenlielle peut s’exprimer en fonction de 1', <I>.

EXERCICES

1. Exprimer en funolion de S, S' et F l’éqiialion de la conique jiolaire réciproque de S par rapport à S'.

Les invariants et les covariants étant, d’après leur nature même, indépendants du choix des lignes de référence, nous pouvons supposer les deux coniques S et S' rapportées à leur triangle auLopolaire commun. On aura alors

S = «jr’ -K ’ -4- ci’. S' = j’ -e ’ h- î’,

et, par suite,

F = o( è -t- c) jr’ è(c -i- o).r’ r(« -l- A)z’.

La relation /«-X’ rr/jj’ -t- «iv’ = o exprimant qu'une droite est tangente à S, le lieu du pôle de cette droite par rapport à S' aura |K)ur équation

bex^ -h cay’ -+- abz^ =- o,