IV. Réduire les équations de deux coniques à la forme

.1’ -i- J ’ -4- :• 4: o, nx' -y- by‘ -4- r = o.

INVARIANTS ET COVAHIANTS DES SYSTEMES DE COMQl'ES. 4^!'

Les constantes f/, b, c sont les racines de l'équation (371, Ex. I) aX’ — hX’4- h'X — A'= o, et en résolvant les équations

s’= S, ax^-^ hr'-i- (■;’= S', n[b -h fjx’-e- b{c ■+■ ») y’-H c(«'t- h)z^ — F,

on exprimera x’, >■’ cl î’ au moyen des fonctions connues S, S' et F.

A 1a rigueur, il faudrait diviser d'abord les deux é(|ualions données par la racine cubique de A, puisqu'on veut les ramènera uncformedans laquelle le discriminant de S est égal à l’unité, mais il est facile de voir qu’on arrive au mémo résultat, en no modifiant pas S et S', et en divisant F par A, après l’avoir calculé d’après les eoeflicienis des équations données.

V. Réduire à ta fornje indi<iuéc précédemment 3x’ — 6xr -4- 9/’ — ax -i- 4.»' — o, 5x^ — “i4-^' 8> ’ — t>x — a = o.

Les coefücicnts A, B, C,. . . des équations langentielles sont alors

et l’on

d'où

ce qui

donne pour F

F = — g(a3x’ — boxy ■+■ 44.''’ — i8x -i- ta)’ — 4 )i par suite, en désignant les coordonnées nouvelles par de grandes lettres,

X’ -H Y’ -I- Z' = 3.r’ — 6x/ -t- 9 k’ — ax 4 X’-i- a y’ -H 3Z’ = 5x’ — i4x r -+- 8) ’ — 6.r — a,

5 X'-t- 8 Y’ -I- qZ^ = a3x’ — 5ox> -t- 44.* ’ — i8.r -h ia>' — 4-

Des combinaisons

fis -t- S'- F, F — 3S-aS', aS+3S’-F, on tire respectivement

X*=(3jrH- i)’, Y’ = (ax— /)’, Z’= -(x+.v-f-i)’.

VI. Trouver l’équation des (piatre tangentes mené<‘s à S [wr les points où cette courbe rencontre S'.

(HS — AS')== 4-iS(t)'S-F).