CHAPITRE XVIII

vu. Un trianglp pst ciroonscril à une conique donnée U, deux de ses sommets glissent sur deux droites fixes 't.x ■+■ ay -h vi, \’x ■+■ pV-n v's; trouver le lieu du troisième sommet.

Nous avons vu (275, Ex. II) que, lorsque la conique et les droites sont définies respectivement par les équations

z’ — TJ = O, ax — ^=o, bx — y = n,

le lieu est représenté par

[n -h hy (z’ - xj) = (a—byz\

L(' deuxième membre do l'équation est égal au carré de la polaire par rapport à S de l'intersection des deux droites; cette polaire a pour expression générale

P = [ax b y -I- ,gz) (fiv' — a'v ) H- (/ix -H b y -(-/z) (vV — v'i)

-+■ + fxy- ri) ( Aji' - )•>) = o;

d ailleurs, la relation a -y b — o, qui exprime que les droites sont conjuguées par rap|)ort à S, devient dans le cas général (I57H) « = o, c’est-àdire

W = AÀx'-t- BtXtx’-f- Cvv’

F(p v' -t- u'v) -t- ti (vX'-f- ï'i) H (xp'-e t.'p) = o.

L’équation du lieu, trouvée pour le cas particulier du n” 272, devient donc dans le cas général

U 4- NP’ = o.

VllI. Un triangle est inscrit dans une conique S, deux de ses côtés sont tangents à S'; trouver l’enveloppe du troisième côté.

Prenons pour lignes de référence les côtés du triangle supposé fixe dans une de ses positions, et soient

S = 2(/rz 4- g-zx -t- bxf) = o,

S’= x’ 4-r ’ 4- z’ — 2 yz — axz — axr — 2/1/, xj — o,

les équations des deux coniques, x et.r étant les côU'-s tangents à S'. La conique / S 4- S' est évidemment tangente au côté z; de plus, elle est ySire. En elTet, les invariants

B'= a{/ 4-g 4- /i)(2 4- /</), A'= — (2 4- bby

vérifient la relation