H'J 4 HA = 4 AA

INVARIAMS ET COVAHIASTS DES SYSTÈMES DE COMQIJES. 4‘j3

et l’équatkin / S -+- S' = o prend la forme

(H”- 4Hi)S-h 4AA'S'= O,

qui représente une conique fixe tangente au troisième côté du triangle. Lorsque (-)’’= 4nA, le troisième côté enveloppe la conique S'.

IX. Les trois côtés d'un triangle sont tangents à une conique ü, deux de ses sommets glis.sent sur une conique V; trouver le lieu du troisième sommet.

La solution de ce problème peut se ramener aux trois opérations suivantes ; former l'équation des tangentes menées à U par le troisième sommet (x', r', i'); trouver l'équation des droites qui joignent les points où ces tangentes rencontrentV; enfin, exprimer qu’une de ces droites qui doit être un des côtés du triangle, est tangente à V. Nous désignerons par U' et V' les résultats obtenus en substituant aux coordonnées courantes dans U et V celles du troisième sommet.

Si l’on représente par P la polaire par rapport à Ü de {x',> ', z'|, on aura pour l'équation des tangentes

LU'— P’= o.

L'équation des cordes d’intersection do ces tangentes avcc'V s’obtiendra en exprimant que UU' — l”-t- ’aV se réduit ù deux droites. En égalant a 7-éro son discriminant, on trouve pour déterminer >. l'é»iuation du second degré

VA’-h AU'V'= O.

Pour exprimer qu’une do ces cordes d intersection est tangente à U, il suffit de former ('.17:2) le discriminant de «U -e- (UU' — P'-^ iV), et il'écrire que l’équation en jx

tt’A -e u(îU’A -t- ÀH) -+- U’’ A -I- ).(HU' -h A\") -e ’a’ H’ = o, obtenue en l’égalant à zéro, a ses racines égales, ce qui donne la relation Â{4 AH'— (-»’) -t- 4A’V'= o.

En éliminant > entre cette équation et celle obtenue plus haut ’a’A'-i- ÀF'-t- AU'V'= o, on trouve, pour le lieu cherché, l’équation

iGA’A'V - 4A(4AH'- h’)F -h ü(4ôh'- «’)>= o, qui se réduit à V' = o, lorsqu’on a 4AH’= H’ (*).

(*) üii trouvera dans le Quartrrlr Jotirnal of Matbematics^ 1. 1, p. 3'|4» une