IV. Quels sont les points représentés par les équations

Réponse. (i, i), (a, 3), (3,3), (4, i).

15. Line seule équation entre les coordonnées représente un lieu géométrique.

Il est évident qu'une seule équation est insuffisante pour déterminer les deux inconnues x et et qu’elle peut être satisfaite par un nombre indéfini de systèmes de valeurs de x et de y, sans que, cependant, elle le soit par un système de valeurs pris au hasard. L’ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l’équation forme un lieu qui est considéré comme la représentation géométrique de l’équation donnée.

Ainsi, par exemple, nous avons vu(n”5. Ex. III) que l’équation ,

représente la distance du point (x,y) ifti point (a, 3), qui est égale à 4* Cette équation est donc satisfaite par les coor-

CBAPITBB II.

données d’un point quelconque du cercle qui a pour centre le point (?., 3) et 4 pour rayon,» et elle n'est satisfaite que par les coordonnées de ces points. On dit alors que le cercle est le lieu représenté par cette équation.

L’exemple suivant, plus simple encore, nous permettra de faire voir aussi qu’une seule équation entre les coordonnées représente un lieu géométrique. Reprenons la construction au moyen de laquelle (n" 1) nous avons déterminé la position du point représenté par les deux équations x = a, y=b. Nous avons obtenu le point I’ (/'g'. i3) en prenant MP = A sur la parallèle MK menée à OV par le point M distant du

Fig. l3.

point O deüM=a. Si nous nous étions donné une valeur differente b' pour y, en procédant de la môme manière, nous aurions encore trouvé un point situé sur la ligne MK, mais à une distance différente de M. Enfin, si la valeur de rest laissée tout à fait indéterminée, et si nous ne nous donnons que l’équation x — a, le point P sera situé quelque pari sur la ligne MK, et sa position sur cette droite sera indéterminée. La ligne MK est donc le lieu de tous les points représentés par l’équation x = a, puis()ue, quel que soit le point que l’oii prenne sur cette ligne MK, l’abscisse x de ce point sera toujours égale à a.

16. En général, lorsqu’on a une équation de degré quelconque entre les coordonnées, on peut prendre pour x une valeur arbitraire, x = a, et déduire de cette équation un nombre fini de valeurs de y correspondantes à cette valeur particulière de X : par conséquent cette équation sera saiisfqite par chacun des points p, ç, r,... { //g. i4), qui ont pour abscisse cette valeur particulière, et pour ordonnées les valeurs corres-

DE LA LIGNE DROITE. 1

pondantes déduites de l’équation. En partant d’une autre valeur de X, x = a’, nous trouverons de même une autre série

Fig. 14.

de points satisfaisant à l’équation. Et il en sera encore ainsi

pour d’autres valeurs de jt, x = a“, x = a", Si donc nous

donnons successivement à x toutes les valeurs possibles, l’ensemble de tous les points trouvés comme il vient d’étre dit formera un lieu dont chaque point satisfera à l’équation, et qui en sera par conséquent la représentation géométrique.

On peut, en suivant le procédé qui vient d’être indiqué, déterminer autant de points qu’il est nécessaire, pour figurer la forme du lieu.

EXERaCES.

1. Roprésenlcr grapliiquemenl (*) une série de points satisfaisant à l'équation 3.

Hépo.nse. Donnant à x les valeurs —a, —1, o, 1, a,..., on trouve, pour J, — i, i, 3, 5, 7,..., et l’on voit alors que les points correspondants sont en ligne droite.

H. Représenter le lieu correspondant à l’équation r = x’

Répossb. Aux valeurs de x : — i, i, o, -, 1, -, a.

correspondent les valeurs de v ; a, — 7, — a, — — 4,

(■) Nous is-rumnianduns au lecteur de se servir pour ccl objet de papier quadrille.