III. Représenter la courbe = 3 ± — x — x

Réponse. A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de / : aucune partie de la courbe ne se trouve à droite de la ligne j = 4, ni à gauche de la ligne .r = — 5, puisqu'en donnant à xdes valeurs positives ou négatives plus grandes, la valeur de v devient imaginaire.

17. Toute la Géométrie analytique est fondée sur la corrélation qui, ainsi que nous venons de le montrer, existe entre une équation et un lieu géométrique. De là un double but à remplir. Si une courbe est définie par une propriété géométrique, nous aurons à déduire de cette propriété l'équation qui devra être satisfaite par les coordonnées des points de la courbe. Ainsi, par exemple, si l'on définit le cercle : le lieu des points (x, j ) dont la distance à un point fixe {a, b) est constante et égale à r, on aura pour Véquation (ht cercle en coordonnées rectangulaires (n° 4)

Si, d'un autre cdlé, on nous donne une équation, nous aurons à déterminer la forme de la courbe qu’elle représente, ainsi que les propriétés géométriques de cette courbe. Pour laire cette recherche avec méthode, après avoir classé les équations suivant leur degré, nous déterminerons la forme et les propriétés du lieu représenté par une équation, en commençant par les équations du degré le moins élevé.

Le degré d'une équation se définit par la plus grande valeur de la somme des exposants de x et de y prise dans chacun de ses termes. Ainsi l'équation xj -t- a x -f- 3/ = 4 est du second degré, puisqu’elle renferme le terme xy. Si ce terme n’existait pas, elle serait du premier degré. On dit qu’une courbe est du degré n lorsque l’équation qui la représente est elle-même du degré n.

Nous étudierons d’abord l’équation du premier degré ; nous

DE LA LIGNE DKOITE

•îl

ferons voir qu’elle représente toujours une ligne droite, et que, réciproquement, l’équation d’une ligne droite est toujours du premier degré.

18. Nous avons déjà examiné (n" 15) un cas très-simple de l’équation du premier degré, celui de l’équation x = a. Reprenant les mômes considérations, nous ferions voir que l’équation yz=b représente une parallèle PN à l’axe OX ijig.,5), coupant l'axe OY à une dislance de l’origine ON = b. Si b devient nul, l’équation se réduit à = o et représente l’axe OX; de même l’équation x = o représente l’axe OY.

Passons à un cas un peu moins simple, et cherchons quelle est la relation qui existe entre les coordonnées d’un point situé sur une droite passant par l’origine.

Fi|j. |5.

Les deux coordonnées PM et PN du point P i5) sont de longueurs variables, mais leur rapport est constant, puisqu’il est égal à

sin PO.M :sin!«PÔ;

l’équation

sinMPO

sera donc satisfaite par tous les points de la droite : ce sera l’équation de la ligne OP.

Réciproquement, si nous cherchons quelle est la ligne représentée par l’équation

>• = nix,

nous voyons, en mettant l’equation sous la forme — = m, que