CHAPITRE XVIII

X. Doux des côlfs d'un Iriungle sont tangents à U, le troisième à «U -t- tandis (|ue deux de ses sommets glissent sur V ; trouver le lieu du troisième sommet.

En suivant la môme marche que dans l'exemple précédent, on voit que le lieu cherché est l’une ou l’autre des coniques inscrites dans le qua- • drilatère formé par les quatre tangentes communes à U et à V, et définies par l’équation

Ai' V -4- >uF -I- u’U = O,

dont les constantes X et a vérifient la relation

fi[x6 — Srt)7l’ .irr H- 2 M — /j'u' = o,

dans laquelle on a fait

a = 4 AA', P = H’ - 4 AH'.

XI. la'S n côtés d’un polygone sont tangents à ü, tandis que n — i de ses sommets glissent sur V ; trouver le lieu du sommet libre.

Ce problème se ramène au précédent, car la droite qui passe par les deux sommets adjacents au sommet libre est tangente à la conique «U -+• ôV. Si l'on représente par p', fi', V", u’” les valeurs de X et a pour les polygones de « — i, «, // -f- i côti-s, il vient

p’fi", yVX’ixii’— A'ftX*).

On a pour le triangle V — a, u'= A’p, et pour le quadrilatère Â’= (i*, u'= a(4Ax -t- 2^h) ; en augmentant successivement le nombre des .sommets, on trouve facilement les valeurs de >■ et p relatives aux autres polygones (*).

XII. Les polaires des milieux des côlés d’un triangle, prises par rapport aune conique inscrite, forment un triangle dont l’aire est constante (M. Fai re).

XIII. On joint jwr des droites chacun des sommets du triangle de référence aux points où le côté opposé rencontre une conique; trouver la condition pour que ces droites pas.sent trois par trois par un môme point.

ItÉl'OXSE. flhl- — 2 — llp — — <7/’ - O.

discussion d(* M. Cayloy, rolalivc au lieti décrit par le sommet d’un triangle cirennserit à une conique S, et dont les deux autn'S sommets i;Iisst»nt tàiir des coiirUoH données. Ix)r«que ces courlH^it sont toutes deux des coniques, le lieu est du huitième d«*(;ré, et touche S aux points où H est rencontré par les polaires, prises p.ir rapport à S, des intersections des deux coniques.

(*) Voir Phiîoioptncal ^lagotine, XIM, p. 33ÿ.

INVARIANTS ET COVARUNTS DES SYSTÈMES DE COMQIES. 4î)5

XIV. Trouver la conrlition pour qu'un point soit eAtcrieur(ou intérieur) il une conique, autrement dit pour que les tangentes menées à la conique par ce point soient réelles (ou imaginaires) (M. Sïlvesteb).

Réponse. Le |X)int est intérieur lorsque A et S' sont de même signe ( fuir II" 283, Ex. 111 ).

382. La théorie des invariants et des eovariants permet de trouver facilement en coordonnées trilinéaires les formules équivalentes de certaines formules bien connues exprimées en coordonnées cartésiennes.

L’équation générale d’une droite passant par un des points imaginaires et à l’infini du cercle étant x±y<J— i-t-c = o, la condition pour que la droite "i.x + + v passe par un de

ces points est + = autrement dit, ces points ont

/’ -I- fi’ = O pour équation langentielle.

Lorsque 2i = o, i' = o sont les équations tangerftielles de deux coniques, le discriminant de - -t- A -' a pour expression (285-286)

qui devient

A’ -f- A A(a H- A ) -t- A'(flA — /i’) pour A' = -I- fi’.

Si donc, dans un système quelconque de coordonnées, on forme les invariants d'une conique et des points imaginaires du cercle, la relation (-)' = o exprimera que la conique est une hyperbole équilatère, et (-) = o qu’elle est une parabole. Pour que la conique passe par un des points à l'infini du cercle, il faut que la condition

(o -I- A j’ = 4 (oè — /<’) ou [a — A)’-t-4/i’ = o

soit remplie, et elle ne peut l’étre par des valeurs réelles que si la conique passe à la fois par ces deux points, car alors

fi = b, h = O.

La relation f/’ = o (') exprime (34) que la distance

( *) condition implique aussi ( «5) que chacune dos droites menées

par un do c«»s doui points est perp<‘ndiculaire à enc-nïême. On peut, on partant de là, cKpIiquor In pn‘*senco, dans les èquationH de certains lioiu, de facteurs

4^)6 niUPITRE XVIII.

d'un poinl ù une droiie menée par un des points à l’infini est toujours infinie. I.a condition équivalente en coordonnées trilinéaires s'obtient en égalant à zéro le dénominateur de la traction qui représente la distance d’un pointa une droite (01). L’équation tangentiellc des points imaginaires du cercle sera donc

À’ -(- fji' v’ — 2 uv cos A — 2v?. cos B — 2 Àu cosC = o.

Si l’on calcule les invariants (-J, (-)' du système formé par ces points et une conique, on trouve : pour la relation t-)'=o, qui exprime que la conique est une hyperbole équilatère,

rt+6-f-c — 2/ cos A — 2 g- cos B — 2 h cosC = o ;

pour la condition 0=o, qui est vérifiée lorsque la coniipie est une psrabole,

A sin’A H- B sin’B -f- sin’C -i-zFsinBsinC + 2G sin C sin A 4- 2 II sin A sinB = o.

L’équation (-)'’ = 4^3, qui exprime que la coniiiue passe par un des points à l’infini du cercle, peut se ramener par divers procédés à une somme de carrés.

383. Le covariant F du système formé par une coni(|ue et un couple de points représente le lieu des sommets des faisceaux harmoniques qui ont pour rayons deux tangentes à la conique, et deux droites menées par les points du couple. Lorsque ces points sont les points à l’infini du cercle, F représente le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. En se reportant à la valeur de F donnée au n"378, et observant que la seconde conique se réduit à -t- iz’, c’està-dire que A'= B'= I, et que tous les autres coefficients de son équation tangcntielle sont nuis, il est facile de voir que

on apparonro etraiigors; coinmo, par oxomplo, du fartour (x — — /S'*

dans JVqnation de la projection du foyer («, sur une tangente. Car la per)H‘ndiculniro abaissée du foyer sur une des tangentes qui s*y cou|>eiit cuïii' eidnnt avec cette langonto, la tangente fait partie du lieu.

INVARIANTS ET COTARIANTS DES STSTfeHES DE CONIQUES. 497

l'équation

r = o, ou

P = C(a:’+^’) — sGa: — 2F^- + A+ B = o,

représente, en coordonnées cartésiennes, le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique (294, Ex. ).

Lorsque cette conique est une parabole, on a C = o, et le lieu se réduit à la directrice, dont l’équation prend la forme

a(Gx + F^-) = A -I- B.

En suivant la même marche, on trouve, pour l'équation trilinéaire correspondante,

(B -f- C -t- aF cosA)x’

-i-(Ch- A-t- aGcosB)/’

-4- ( A 4- B -I- a H cosC )a’

-t- a (A cosA— F— G cosC — H cosB)/z ■+- a(BcosB — G — Hcos A — F cosC)ex 4- a(CcosC — H — F cosB — G cosA )x/=; o.

et l’on peut voir, comme au n” 128, qu’elle représente un cercle, en la mettant sous la forme

(x sin A 4-/sinB 4- s sinC)

rB4-c

sin A

aFcosA C4-A4-aGcosB A4-B4-aHcosC \ T-;: /-I rrrr: ^1

sin A sin B sin C

sin B

,{ rz sinA 4- ix sin B 4-x^-sinC).

sinC

Si l’on J fait 0 = o, qui exprime que la conique (382) est une parabole, on obtient l’équation de la directrice.

384. En général, 1 4- /r— ' représente une conique inscrite dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes communes à 2 et 2'; lorsque, par suite d’une valeur particulière de A, 2 4- A2' se réduit à un couple de points, cos points sont deux sommets opposés de ce quadrilatère. Dans le cas où 2' et 2 4- 7i 2' représentent respectivement les points à l’infini du