CHAPITRE XVIII
cercle ei un couple de points, ces derniers sont les fojers de i (279). Pour trouver les foyers d’une conique définie par une éiiualion nunicriqiie en coordonnées cartésiennes, on peut donc employer la méthode suivante : déterminer 4 d’après l’équation du second degré
{ab — A’)4’ -f- A(rt -+- b)k -f- A’ = o,
exprimantque le lieu 1 -+- 4 (>,’ u’) représente deux points ;
introduire l’une ou l'autre des valeurs de 4- dans l’équation de ce lieu qui se décompose alors en deux facteurs
(?,x' -t- fl)-' -+- vj'){Xx' -4- U y" 4- va" ),
et donne pour les coordonnées des foyers
L’une des valeurs de 4' correspond aux foyers réels, l'autre aux foyers imaginaires. La même méthode est applicable aux coordonnées trilinéaires.
L’équation 2 4- 4(?.’ 4- fi’) = o représente en coordonnées tangenticlles une conique homofocale de la conique donnée 2; en la transformant en coordonnées cartésiennes (28.5), on trouve, pour l’équation générale des coniques homofocales à S,
AS 4- 4 [C(x* 4- >■’) — a Gx — a Fr 4- A 4- B] 4- 4’ = o, et, par suite, pour les tangentes communes à ces coniques, [C(x’ 4-y’) — aGx — a F/ 4- A 4- B]’ = 4 AS.
Si l’on décompose cette équation en deux facteurs.
on obtient les coordonnées des foyers, qui sont alors a, (â;
INVARIANTS ET COVABIANTS DES SïSTfeMES DE CONIQEES. i(99
EXEnCICES.
K Trouver les foyers de la conique
a.t’ — 2 j-K -H ’ — IX — 8 > -I- 11=0.
L'équation du second degré en X est alors 3X’-t- 4XA ■+■ A*= o, d'où l'on lire X' = — A, X" = — d'ailleurs A = — 9. En parlant de la valeur A’ = 3, on trouve
6 V -1- 2 1 fl’ -t- 3 v’ 1 8 P 1 2vX -H 3oXu -H 3 (‘a’ -+■ u’ ) = 3(À H- 2fi 4- v)(3À -1- U -I- v),
ce qui donne (1, 2), (3, 1) pour les foyers. La valeur X'= g correspend aux foyers imaginaires (2 ± 1, 3 V^ — ')•
IL Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole définie par une équation en coordonnées cartésiennes.
L’équation du second degré se réduit alors au premier, et l'expression
(a -1- b) [ A'a’ -f- Bfi’ -H 2 Fp -+- 2Gv'a -1- 2H)u] — A (X’ 4- p’)
peut SC décomposer en deux facteurs, qui sont
(a4-6)(2GX4-2Fa),
(fl4-i)A — A, (rt4-i)B— A
2(f/4-iyG 2(rr4-6)F
Le premier donne le foyer situé à l'infini et montre que l'axe de la courbe est parallèle à Fj: — G/. L’autre foyer a jwur coordennées les coefficients de X et (X dans le second facteur.
III. Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole définie (lar une équation en coordonnées trilinéaires.
Ces foyers sont représentés par l’équation
B'î = A ('a’ 4- IA* 4- ï’ — 2 P cos A — 2vXcosB — aXjacosC).
Les coordonnées du foyer situé à l’infini sont connues (293), puisque ce foyer est le pôle de la ligne à l’infini. Les coordonnées de l'autre foyer sont alors
.\sin.\ 4- llsinB 4- GsinC’ llsinA 4- BsinB 4- FsinC’
GsinA 4- FsinB 4- CsinC
5oo
CHAPITEE IVIII.
385. La condition (61) pour que deux droites soient perpendiculaires entre elles
fA ti' -+- vv' — ( uv’ -f- //'v) COS A — ( vX' -t- v'X) cosB
— (Xft' -f- X'u) cosC = O
exprime en même temps (293) que ces droites sont conjuguées par rapport à la conique
X’ 4- a’ -+- — a-Av cosA — 2vX cosB — aXu cosC = o.
La relation qui existe entre deux perpendiculaires n'est donc qu’un cas particulier de celle que vériflenl deux droites conjuguées par rapport à une conique fixe. Ainsi le théorème : Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point, n’est qu’un cas particulier du suivant : Les droites qui joignent tes sommets correspondants de deux triangles polaires par rapport à une conique se coupent en un même point.
Sur la sphère ('), les deux points imaginaires et à l’infini du cercle sont remplacés par une conique imaginaire fixe; tous les cercles peuvent être considérés comme des coniques ayant un double contact avec une conique fixe, le centre du cercle étant le pôle de la corde de contact; deux lignes sont perpendiculaires lorsque chacune d’elles passe par le pôle de l’autre par rapport à cette conique, etc.
La méthode des projections nous a permis de généraliser certains théorèmes en remplaçant dans leur énoncé les deux points imaginaires et à l’infini du cercle, par deux points quelconques. Ce qui précède nous autorise à donner à ces théorèmes une extension plus grande encore, en substituant une conique à ces deux points. Mais il ne faut pas perdre de vue que les théorèmes auxquels on arrive par cette sorte d’induction doivent être soumis à une démonstration ultérieure. Ainsi, c’est par cette méthode inductive que nous avons été conduit en partant du théorème ; Le point de concours des hauteurs d'un triangle inscrit dans une hyperbole
< * ) foir l.t (iéomctt it n trois fittnrmions do M. G. Salmon, (^liap. IX.
INVARIANTS BT C0VARIANT8 DES STSTÈME8 DE CONIQUES. 5o I
équilalère appartient à l’hyperbole, aux propriétés des coniques assujetties à la relation 0 = o, propriétés que nous avons ensuite démontrées à la fin du n° 375.
Nons indiquerons, dans les deux numéros suivants, quelques-unes des recherches analytiques relatives aux théorèmes qui concernent les coniques ayant un double contact avec une conique fixe, et correspondent, ainsi que nous l’avons Tait voir au n* 306, à une série de théorèmes relatifs aux systèmes de cercles.
386. Trouver la condition pour que la droite },x ■+- py ■+■ vz soit tangente à la conique S -t- ( À'x -4- fji'y -h -yz)’.
Il suffit de remplacer dans 2, a, b,c... para -i- )/’, h -tce qui donne
