t- [ a ( uv' — fc'v )’ -4- . . . J = O
la quantité entre parenthèses indiquant le résultat de la substitution de lAv' — p.'y, vÀ' — v'X, Ip.' — X'fx à x, y, z dans S. Cette équation peut se mettre sous une autre forme: on a, en effet (29i),
(aar’ -I- b y' -t-. . .){ax'^ + by’’ — {axx' -4- byy' -4- . . . )’
— A(yz'-y'zy-i-...;
un calcul analogue donne la relation
dans laquelle le facteur (AXX'-i-...) est le premier membre de l'équation
AXX'-(- Bpp'-^-Cvy
-H F( U v’ -4- o/v ) -4“ G ( V // -4- >’ X ) -4- H (/. p' -4- X et j — O,
qui exprime que les droites ’Ax -t- py -4- vz, i.'x -4- p'y -t- v'z sont conjuguées. En posant alors
2'= AX" -I- Ba'» -4- . . . , II = AXX' -I- B 'A ,tt' -4- . . . ,
et remplaçant a(uv'— p'vf -4-. . . par la valeur trouvée préré-
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5o2 CHATITRE XVIII.
deninieiit, on a enfin, pour la condition cherchée,
Si l’on considère )., jx et v comme les coordonnées d’un point de la conique réciproque, ce qui est possible (321), on voit que cette dernière équation peut servir de démonstration analj'tique au théorème : Le système réciproque de deux coniques ayant un double contact se compose de deux coniques ajrtnt également un double contact.
Celte condition peut aussi se mettre sous une forme plus commode pour quelques applications, en définissant la droite Ix -i- fxy -h V Z, non plus par les coefficients >, /2 et v, mais bien par les coordonnées de son pôle par rapport à S. Si l’on
désigne par P' la polaire {axx'-+- byy' -h ) de [x', y', z')
par rapport à S, et par P" la droite l.'x + p'y -(- v'z considérée comme polaire de (ar", r-*, z"), il suffit d’exprimer que P' est tangent à S + P"’, en substituant aux fonctions 2, 2', Il en X, fx et V les fonctions équivalentes en x,y,z.
Lorsque la polaire de ( a:', z' ) est tangente à S, les coefficients S|, S„ S| de son équation vérifient la relation 2=o en X, fj, V, et le point {x:',y', z') appartient à S; 2 doit donc être remplacé par AS' (285), et de même 2' par AS". Quand deux droites sont conjuguées par rapport à S', il en est de même de leurs pôles; les coefficients S,, S,, S, satisfont donc à la relation II qui devient AK, si l’on représente par K le résultat de la substitution des coordonnées d’un des points [x’,y', z'), (x',y", z") dans la polaire de l’autre. La condition pour que P' soit une tangente de S 4- P"' prend alors la forme
387. Trouver la condition pour que les deux coniques S -4- f/.'x + u'y + v’z)\ S -+- (rx 4- p.y 4- v"z)> soient tangentes.
Ces coniques sont tangentes lorsqu’une de leurs cordes communes
( Vx 4- 4- v's ) ± ( l“x 4- p."y 4- v“z )
INVABIAMS ET C0VAH1AM8 DES SYSTÈMES DE COMQL'ES. 5o3 est langenie à l’une des coniques; et en remplaçant, dans la condition trouvée précédemment, ). par /.'± X", il vient, pour la condition cherchée,
qui peut se mettre sous la forme, plus symétrique
On trouverait de môme que les deux coniques S -H P", S H- P*’ sont tangentes, quand on a la relation
(n-S')(n-S'') = (idzR)>.
EXERaCES.
I. Décrire une conique S -t- P’ ayant un double contact avec S, et tangente à trois coniques données S -t- P", S -t- P", S ■+- P*” qui ont avec S un double contact.
Soient x, /, s les coordonnées du pôle de la cordo de contact de S avec la conique cherchée S + P’, on aura les équations
dans lesquelles S', S*, S" sont des constantes connues, tandis que S, P',... renferment les coordonnées x, y, z du point cherché. Si l’ort pose
il vient
XX ' = n- P', X X* = I -h P*, X X" = I -I- P",
et en observant que P', P', P", X', X*, X" comportent le double signe, on voit que le problème, eu égard à la combinaison do ces signes, admet trente-deux solutions. Los équations précédentes donnent
et en éliminant X, on obtient l'équation
qui est celle d’une droite sur laquelle doit se trouver le pôle par rapport à S de la corde de contact de la conique cherchée. Elle est évidemment vérifiée par le point P'= P'= P* qui est un des rentres radienux (306) des coniques S h- P”, S -i- P*’, S -+- P"'.
5o4 CHAPITBE XVIII.
pf P* pM
Celle équation esl aussi véri6ée par le poinl ']7 = donlnous
allons chercher la signiricalion géométrique. D'après le n° 380, les équations tangenlielles des coniques S -h P'* , S -f- P*’ sont respectivement données par
(I -hS')l = A(>x'-4- pr' -4- vz')>, (I -4- S'jS = -H P,r'-+- ïz')’,
et l'équation
Ix' -H li v' -H vz' >x' -H ur' -I- vz’
représente les points d'intersection des tangentes communes à S F’ et
JT ^ «r *
s -t- P"; ces points dont les coordonnées sont ^ ± -p- . ont
P» pt pw
pour polaires par rapport à S. Donc ’p’ ~ jn' = -pr représente le pèle
par rapport à S d'un axe de similitude (300) des trois coniques données.
Par conséquent, le pâle de la corde de contact cherchée sc trouve sur l'une des droites tint joignent un des r/iiatre centres radicaux au fiAle par rapport à S d'un des quatre ares de similitude. Ce théorème n’est du reste qu'une extension de celui qui se trouve à la Gn du n° 118.
Pour compléter la solution, nous chercherons les coordonnées du point
de contact de S -i- P’ avec S ■+■ P". Soient j — p i . . . , les coordonnées de ce point, qui est un centre de similitude des deux coniques ; en remplaçant X par ^ P dans XX'= i -i- P',. . . et désignant par R et
R' ce que devient réijualion de la polaire de (x', > z') lorsqu'on substitue x", z'; x", z" aux coordonnées courantes, on a
XX' = 1 -t- P' -I- ^ S', XX'= 1 -i-P'-e ^R, XX"= i-t- P'-t-^R';
par suite
X(X'- X'jzr P- P’”-H ~ (S'- R'),
INVABIANTS BT COVARUNTS DES STSTkMES DE CONIQUES. 5o5 d'où, en éliminant X ,
Celle équation représente une droite sur laquelle doit se trouver le point de contact cherché. Cette droite joint évidemment un des centres radicaux au point défini par les équations que l'on obtient on exprimant que
P', P", P" sont respectivement proportionnels ù ~
X*— ou bien à i, X'X"— R, /'X'— R'. Et comme les polaires par
rapport à S h- P'* des trois centres.de similitude des coniques S P", S -+- P**, S -H P"’ ont [K)ur tkiuations
(X-'X*- R)P'= P", (rx-'-^ R')P'= p--. etc.,
la droite cherchée s'obtiendra en joignant l'un des quatre centres radicaux au p6le, par rapport à S + P'* d’un des quatre axes de similitude. Celte construction pourrait aussi, d’après le procédé indiqué au n° ül, se déduire géométriquement des théorèmes du n° 306. Les seize droites qu’on peut mener de celte manière rencontrent S h- P'^ en trente-deux points, qui sont les {)oints de contact des coniques satisfaisant aux conditions du problème (*).
(*) I.a solution que nous venons de donner de ce proldèine ne diffère pas au fond de celle qui a été donnée par M. Cayley (Cre//c, I. XWIX ).
M. Casey {Procfrtiings of the Rotai Irish Academj^ iB66) a donné une autre solution de ce problème en se basant sur des considérations de ('éomélrie sphérique, et tour appliquant la méthode indiquée dans les n°* 121 (a) et 121 (^). l a relation 121 (a\ à laquelle sont assujetties les tangentes communes à quatre cercles tracés sur un plan et tangents à un cinquième, est vérinée par les sinus des moitiés des tangentes communes menées à quatre cercles tracés sur la sphère dans des conditions analogues. Si donc les équations
représentent trois cercles pris sur une sphère (G. Salmon, Geometry- of thrte dimensions^ Chap. IX), les cercles qui leur sont tangents doivent vérifier la relation
v;(s’-i.jH- vV (s*-m)-i- ^ v(s'-n) =0,
qui donne une solution du problème posé à l'Everciee 1. On trouvera une Note à ce sujet à la fin du volume.
CHàPITHE XVIII.
II. Los quatre coniques qu’on peut mener par trois points fixes de telle sorte qu’elles aient un double contact avec une conique donnée S, sont tan"cnles à quatre coniques qui ont aussi un double contact avec S (*). Soit
S = x’ -t-j’ -H 2/3C0S.4 — azxcosB — ïxjcosC = o;
les quatre coniques passant par les trois points ont pour équation
et sont tangentes à la conique
S = [xcos(B — c) -t-.vcos(C — A) zcos(A — B)]*
ainsi qu’aux trois coniques obtenues en changeant successivement les signes do A, B et C dans cette équation.
Hl. Les quatre coniques qu’un peut mener tangentiellement â trois droites fixes x, r, 2 de telle sorte qu’elles aient un double contact avec S, sont tangentes à quatre coniipics qui ont aussi un double contact avec S.
Si l'on pose M = i (A -h B -t- C), les quatre premières coniques seront
données par l’équation
S = [xsin (M — A) -+-rsin(M — B) -t- zsin(H — C)J’
et celles qu’on en déduit on y changeant successivement les signes de A, B et C. Les quatre autres coniques sont représentées par l’équation
„ r sin|Bsin4C sinlCsin'. A sin 1 Asin 1 BT ’
1/ sinjA siniB siniC
et celles qu’on en déduit en y changeant le signe de x et augmentant de 180 degrés les angles B et C, etc.
IV. Trouver la condition pour que les trois coniques U, V, W aient un double contact avec la même conique.
Cette condition s'obtient en éliminant >, u et v entre l’équation
AV — B'itu’ — A' fi’ = o
et les équations correspondantes qu’on obtient en exprimant que les coniques fiV — vW, vW — XUso réduisent respectivement à deux droites.
(•) Colle eilonsion du Ihcoriunc do Fouerbarh (131. Ex.) peut rooovoir encortî une plus |;mndc exlension. Voir Quarterly Journal of Mathematics, l. VI, p. G;.
