INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES
388. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur la théorie des invariants et des covarianis des systèmes de trois coniques, dont l’étude complète nécessite la connaissance des propriétés des courbes du troisième degré.
Le lieu du point dont les polaires par rapport à trois coniques V, V et W sont concourantes, est une courbe du troisième degré, qu’on appelle le Jacobien des trois coniques.
En effet, en éliminant x, y, z entre les équations des trois polaires
U, X -t- U,y -I- UjS = o, V, a: -t- V,z = o,
-I- W,r-(-WjZ = O,
on obtient, pour l'équation du lieu,
U. ( V, W, - V, w,) + U,( V, w, - V. W3) -hU, (V. w, -V. w,) = O.
Il est d'ailleurs évident que si les polaires d’un point A prises par rapport à U, V, W se coupent en un même point, il en est de même des polaires de ce point prises par rapport à toutes les coniques du système /ü + m V -t- nW.
Lorsque les polaires, par rapport à toutes ces coniques, d'un point A du Jacobien passent par le point B, la droite AB est divisée harmoniquement par toutes les coniques, et par suite la polaire de B passe parle point A. Le point B appartient donc au Jacobien, et l’on dit qu’il correspond au point A. La droite AB est évidemment divisée en involution par toutes les coniques, et les points A et B sont les foyers de cette division. Et comme aux foyers se confondent deux points correspondants de la division, il en résulte que si une conique du système est tangente à AB, ce ne peut être qu’en un des points A et B. Lorsqu’une conique se réduit à un couple de droites se coupant sur AB, l’intersection de ces droites ne peut se trouver qu’en A ou B, à moins que la droite AB ne fasse ellemême partie de ce couple.
On peut, du reste, démontrer directement que lorsque /ü -1- wiV 4- nW représente deux droites, leur intersection se
CHàPITRB XTIII.
trouve sur le Jacoblen. En effet, celte intersection (292 ) vérifie les trois équations
/U, -f- mV, + nW, = O, /U, -i- mV, + nW, = o,
/Uj -I- mVj -I- nWj = i>,
et l'équation du lieu, obtenue en éliminant l, m et n, est la même que celle trouvée précédemment. La droite AB, qui joint deux points correspondants du Jacobien, rencontre celle courbe en un troisième point, et il résulte de ce que nous venons de dire que la droiie AB appartient au couple de droites issues de ce point, et compris dans le système / U -i- niV ■+■ nW.
L’équation générale du Jacobien, qu’on désigne habituellement par la lettre J, peut s’écrire de la manière suivante :
( agh )x> + ( bhf )y > + { cfg)z'
— [(a/>g:)-+-(aA/)]xV— [(caA)-4-(a/g')]i-’3
— [{abf)-i-[bgh)]y-x — [{bc/i)-h{bfg)]r’z
— [( c«/) ■+■ ( cgh )] i’a: — [( beg) ( c/if)] z^y
— [( aAc ) -f- 2 (/g/l ) ] xyz = o,
en représentant, pour abréger, par (abc] le déterminant des neuf coefficients a, b, c, a', b', c', a", b", c".
Le Jacobien est un covariant qui est du même degré par rapport aux coefficients et par rapport aux variables.
EXERCICES
I. Faire passer |>ar quatre points une conique tangente à une conique donnée W.
Sup|iosons lesqualre points définis par l’inlerseclion des deux coniques U et V. Le problème admet six solutions, puisqu’on remplaçant a,... para -h A a', dans la condition (37i) qui exprime que U et \V sont tangentes, on obtient une équation du sixième degré en A . Le Jacobien de ü, V et W coupe \V aux six points do contact cherchés. Car la polaire du point de contact par rapport à V étant aussi sa polaire par rapport à une conique ).U -f- uV passe par l’intersection de ses polaires prises par rapport à ü et à V.
INVARIANTS ET C0VAHIANT8 DES STSTfiMES DE CONIQUES. Sog
II. Le Jacobien de trois coniques ayant un triangle aulopolaire commun se réduit à trois droites.
Il est facile de vérifier que xyz = o est le Jai’obien des coniques
nx’ -I- -t- cz’=r O, n'x’-i- r'z’ =: o, «'x’-t- c'z’= o.
On peut donc trouver l'équation des côtés du triangle autopolaire commun à deux coniques en formant le Jacobien (J) de S, S’ et du covariant F, puisque ce triangle est aussi autopolairc par rapport à F (381, Ex. I }.
En comparant ce qui précède au résultat obtenu au n° 381. Ex. IV, on obtient l’équation
J’ = F*-F’(0S'-i- 0'S)-hF(A'0S‘-hA«'S'’)-(-F(00'-3AA')SS'
— A'’AS' — AA'’S”-t- A'(aA0'— H»)S>S'-+- A(aA'0 - 0'’)5S".
III. Le Jacobien de trois coniques qui ont deux points communs se réduit à une droite et à une conique passant par ces doux points.
Il est évident, par la Géométrie, qu’un point quelconque de la droite menée par les deux points satisfait aux conditions du problème; le théorème peut d'ailleurs se vérifier facilement par l'analyse. Dans le cas particulier où les coniques sont des cercles, le Jacobien n’est autre chose que le cercle qui les coupe orthogonalement.
IV .Le Jacobien SC réduit encore à une droite et à une conique lorsqu’une des coniques S est un carré parfait L’.
En efiet, L est un facteur du lieu. On peut donc mener quatre coniques tangentes à une conique donnée aux deux points (S, L) et en même temps à S'; l’intersection du lieu avec S' détermine les points de contact.
Lorsque les trois coniques sont : une conique, un cercle et le carré de la ligne à l'infini, le Jacobien passe par le pied des normales qu’on peut mener à la conique par le centre du cercle.
388 (rt). Trouverlacondition pourque ladroilelx p.y+vz soit divisée en involiition par trois coniques.
En se reportant au n° 333 et à la Note du n” 3i2, on voit que la condition cherchée s’obtient en égalant à zéro le déterminant
t),’ — a g-A -t- nv' cp} — a f pv -t- bv' c'/.a — fw. — gvp -i- h v’ I
c' — a g' vÀ -+- n'v’ c'fA’ — a f'pv 4- b'y’ c' — f'vl — g'vp 4- b' v'
t-»/.' 2 g"A 4- c"u.’— -if'uv 4- 6%’ c"lp -/"v>. - g" va 4- /i"v ' |
5lO CIIAPITRE XVIII.
qui, développé el divisé par v’, peui se mellrc sous la forme
}i‘{bcf) -h u‘(caff) -4- v’(nb/i) + ).’u [(c/if) — (fceg')]
-4- ).=>[2(b/ff) — (bc/i)] -h ,u’X[a(cgA) —(<•«/)]
-4- u»î/[2(rt/§') — (cn/i)] +v>).[2(A^/i) — (a//)]
-I- v’u [ 2 ( a/tf ) — (abg)] -h ).a>[(abc) — 4 (/ÿ/i ) ] = o,
en employam pour les délerminaiils l’abrévialion indiquée précédemment. On désigne habituellement ce conlrevariant par la lettre 4». Sa forme suffit pour montrer que toute droite divisée en involution par les trois coniques U, V et W, l’est aussi partroisconiquesqueIconqucsdusjstème/U-4-»iV -4-nW. L’équation du lieu des points tels, que les tangentes menées par l’un d’eux aux trois coniques forment un faisceau en involution, (leut se déduire de celle qui précède en y remplaçant >, fx, V par X, y, z et a, b, c... par les coefficients A, B, C,... de l’équation réciproque ou tangentielle.
389. Lorsqu’on forme le discriminant de /U -i- ni V-t- n W, on obtient une fonction en /, ni, n, dont les coefficients sont les invariants du système de coniques. Tous ces invariants appartiennent à la catégorie de ceux que nous avons étudiés précédemment, sauf un, qui est dans ce développement le coefficient de Imn, et qui se déduit du discriminant A d’une conique U en y remplaçant chaque terme abc, . . . par six nouveaux termes tels que
a6'c"-f- ab”c' -4- a'6'c 4- a' b c" + a' b c' ■+■ a"b'c.
Il existe encore un invariant remarquable de ce système de trois coniques, qu’on obtient en se basant sur le principe suivant (*): Allant donnés un comrianl et un conlrevariant de même degré, on peut, en substituant dans l'un des sjmboles différentiels et opérant ensuite sur Vautre, obtenir un invariant. On a ainsi, en partant du Jacobian et du conlrevariant
(* ) f'otr la trntluctic*!! françaiiw tic V.4/g^he supérieure tic M. Salinon, p. io8.
INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQIES. 5ll
irouvé au numéro précédcnl,
T = ( rtfrc )> -4- 4 ( «6/) { rtc/) -f- 4 ( " ) 4- 4 { Ciih ) { cbh )
8 ( fl/g-) ( fc/") -4 8{ fl//i ) (cfh ) + 8( cg-Zi )( ftg/i )
— 8 ( flg/i ){ ftc/’) — 8 ( i/i/)( Cflg ) — 8( c/g-)( rtZ»/i )
+ 4(flftc)(/g^/i)-8(/gVi)».
Cel invariant a été indiqué par M. Sj'lvesier, .qui l’a obtenu par un procédé différent de celui que nous venons d’emplover,
389 (fl). On peut simplifier l’élude de certaines propriétés des systèmes de trois coniques, en rapportant chacune de ces courbes à quatre droites x, y, z, iv et mettant leurs équations sous la forme
U = fl x’ -t- b y’ 4- cz’ 4- t/rv’, V = a'x’ 4- b'y^ 4- c'a’ + d'iv’, W = a"x^ 4- 6"y’ -H c"z' -i-
à laquelle il est toujours possible de les ramener d’une infinité de manières. En effet, chacune de ces équations renferme trois constantes indépendantes, et chaque ligne est définie par deux constantes; la forme ci-dessus contient donc dix-sept constantes, tandis que la forme employée habituellement pour U, V, W n’en renferme que trois fois cinq, ou quinze. D’ailleurs, les équations de quatre droites vérifient toujours une relation de la forme w—'kx-i-ixy-hvz, que, pour plus de symétrie, on peut écrire de la manière suivante :
