ABCD

Le premier membre de celle équation est le carré de l'invariant T obtenu précédemment, le second membre est un invariant que nous désignerons par la lettre M. La relation M = o exprime que l’on peut trouver des valeurs de /, m, n telles, que /U -t- m\ -+- nW se réduise à un carré parfait. El comme M est du quatrième degré par rapport aux coefficients de chaque conique, on peut rendre S /U mV -t- nW un carré parfait de quatre manières {voir n” 373, Ex. III), puisqu’en égalant à zéro l'invariant M relatif à S -+- /U, V, W, on obtient une équation du quatrième degré pour déterminer /.

389 {b). En général, trois coniques quelconques peuvent être considérées comme les polaires de trois points relativement à une même courbe du troisième degré, ou cubique; autrement dit, leurs équations peuvent se ramener à la forme

a( j;’— \rz ) + fi(/’ — 2Zx] ■+■ y’( z’ — aarv) = o.

Si l'on emploie pour les cqiialions des coniques la forme indiquée au numéro précédent, l’cqualion de la cubique dont elles se déduisent pourra s'écrire

cl l'on voit que si l’invarianlM s'annule (ce qui ne peut arriver que lorsqu’une des expressions A, B, C, 1) est nulle), il y a

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INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 5l3

exception, et les coniques ne peuvent être considérées comme déduites de la même cubique.

Dans le cas général, on peut obtenir l'équation de la cubique en formant le Hessien (*) du Jacobien des trois coniques, et retranchant du résultat le produit du Jacobien par l’invariant T.

En opérant sur le contrevariant $ du troisième degré successivement avec chacune des coniques, ou sur le Jacobien avec leurs réciproques, on obtient les contrevariants et les covarianis linéaires qui représentent géométriquement les points dont les coniques données sont les polaires, ou les lignes polaires de ces points par rapporta la cubique.

(*) /Wr la traduction fran<,*aisc do \ * Algèbre supérieure de M. Salmos, ]». 96.