CHAPITRE XIX

MÉTHODE DES INFI.NLMENT PETITS.

390. Les problèmes rclalifs au tracé des langenlcs, à la délerminalion des aires et des longueurs d’arcs des courbes, peuvent être traités par deux méthodes dilTérenles : l'analyse et la géométrie. Renvoyant le lecteur aux ouvrages spéciaux pour l’emploi de la première, nous nous bornerons à exposer dans ce Chapitre quelques exemples de la seconde, afin de donner une idée des procédés employés par les géomètres avant la découverte de l’analyse. Ces procédés, en dehors de l’intérêt historique qui s’y ratiachc, peuvent, dans certains cas, conduire plus simplement et plus rapidement à une solution que l’analyse : qu’il nous suffise de rappeler ici le beau théorème énoncé au n° iOO, théorème qui n’avait pas même été entrevu par ceux qui ont appliqué le calcul intégral à la rectification des sections coniques.

A mesure que le nombre des côtés d’un polygone inscrit dans une courbe augmente, l’aire et le périmètre du polygone se rapprochent de l’aire et du périmètre de la courbe; le côté du polygone tend à coïncider avec la tangente menée à la courbe par son extrémité. Lorsque ce nombre devient infini, le polygone se confond avec la courbe, et la tangente en un point coïncide avec la droite qui le joint à un autre point infiniment voisin.

A mesure que le nombre des côtés d’un polygone circonscrit augmente, son aire et son périmètre se rapprochent de l’aire et du périmètre de la courbe, et le point d’intersection de deux de ses côtés consécutifs tend à coïncider avec le point de contact d’un de ses côtés.

Lors donc que nous voudrons déterminer l’aire ou le péri-

HÊTnODE DPS INF1MI9ENT PETITE.

mèlrc d’une courbe, nous pourrons subsliluer à celle courbe un polygone inscril ou circonscrild’un nombre infini do côlés; de plus, nous pourrons considérer une langenle comme la corde menée par deux points infinimenl voisins de la courbe, ei un poinl de la courbe comme l’iiiierseclion de deux langenies infinimenl voisines.

391. 1. Trouver la direction delà tangente menée en un poinl B du cercle.

Dans un iriangle isoscèle AOB {Jif;. 1 1 1 ), formé par les deux rayons OA, OB el la corde B.\ qui joinl leurs cxlrémiiés,

l’angle à la base .\BO csl égal à un angle droil diminué de la moilié de l'angle au sommcl BOA; à mesure que les poiuls .\ ei B se rapproclieni, cei angle au sommel lend à devenir plus pelil que louie grandeur donnée; donc, à la limile, l'angle OBA que la langenle fail avec le rayon esl égal à un angle droil.

Nous aurons souvenl occasion d’employer le principe qui vienl d’èlre démonlré, et qu'on pcul énoncer de la manière suivanle : Deux droites égales, infiniment voisines, cl issues du même point, sont perpendiculaires à la droite qui joint leurs extrémités.

H. Les circonférences de deux cercles sont entre elles dans le même rapport que leurs rayons.

Par le cenlre des deux cercles {fg. ni) supposés concentriques (ce qui esl toujours possible), menons des rayons OA,