MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS

entre P cl V' un certain nombre de points P', P", P",.--, on formera une série de parallélogrammes PM'..., PN'..., cl

Fig.i i5.

la somme des premiers sera double de la somme des seconds; l’aire V'PM est, par suite, double de l’aire V'PN; autrement dit, l’aire du segment parabolique PMV' est les deux tiers de celle du parallélogramme PMV'N.

394. 1. L'aire de l’ellipse est égale à l'aire du cercle qui a pour rayon une moyenne proportionnelle entre les demi-axes de l'ellipse.

Si l’on divise l'ellipse ABA' {Jig. ti6) et le cercle ADA' décrit sur le grand axe AA' de l’ellipse comme diamètre, par

Fig. 1 16.

une série de parallèles dbm, d'b'm’,... au petit axe BC, on a la relation

mb : md m' b' m' d' b : a,

et les aires des quadrilatères mbb' m' , md d' m' sont entre

CHAPITIE XIX.

nlles dans le rapport b: a; il en est de même de leurs sommes respectives, c’est-à-dire des polygones Bbb'... A,Dr/r/'. .. A inscrits dans l'ellipse et le cercle, quel que soit du reste le nombre des côtés de ces polygones. Donc /'«/re de l'ellipse est à celle du cercle dans le rapport de b à a‘, cl comme l’aire du cercle est égale à ma’, celle de l’ellipse a pour valeur mab.

Corollaire. — On peut prouver, de la même manière, que, si deux figures sont telles, que les ordonnées de l’une soient dans un rapport constant avec les ordonnées de l'autre, les aires de ces figures sont entre elles dans le même rapport.

II. L'n diamètre quelconque d’une conique divise l’aire de la courbe en deux parties équivalentes.

Le diamètre, divisant ses ordonnées en deux parties égales, divise, par cela même, en deux parties équivalentes l’aire du trapèze formé en joignant les extrémités de deux ordonnées consécutives; le nombre de ces trapèzes augmentant au delà de toute limite, la somme de leurs aires devient égale à l’aire de la courbe, qui est ainsi divisée en deux parties équivalentes par le diamètre.

395. 1. Dans l’hyperbole, l’aire du secteur PCQ, déterminé par les droites qui joignent deux points P et Q de la courbe au centre C, est équivalente à celle du segment PQKL obtenu en menant par ces points des parallèles PK, QL à une asymptote.

D’après la génération de la courbe, les triangles PKC, QLC Fig. 117.

{/ig. 117) sont équivalents ; donc les aires PQC et PQKL sont équivalentes.

MÉinODE DES 1>'FINI)IENT PETITS.

II. Deux segnienls PQLK et RSNM sont équivalents lorsqu’on a la proportion PK : QL ;; RM : SN.

En elTel, l’cqualion de la courbe donne la relalion

PK:QL:;CL;CK,

el si l’on mène les droites QR et PS, on a (107)