RM:SN:;MT':NT

QR est donc parallèle à PS. Il est dès lors facile de voir que les. secteurs PCQ, RCS sont équivalents, puisque le diamètre des cordes PS et QR divise en deux parties équivalentes l’aire hyperbolique PQRS, ainsi que les triangles PCS et QCR.

Lorsque les points Q et R coïncident, l'aire PKNS est divisée en deux parties équivalentes par l’ordonnée QL qui est alors moyenne géométrique entre les ordonnées PK, SN des extrémités de l’arc PQS.

De plus, si l’on mène un certain nombre d’ordonnées en progression géométrique continue, l’aire comprise entre deux ordonnées consécutives est constante.

396. Lorsque deux coniques sont semblables, semblablement placées et concentriques, toute tangente AB à la conique intérieure détermine dans la conique extérieure un segment AVB dont l’aire est constante.

Nous avons vu (236, Ex. V)que cette tangente AB [Jig. 1 18) est divisée en deux parties égales par son point de contact P.

Fig. 1 18.

Si l’on mène une deuxième tangente A' B' ayant son point de

CBAPITRR XtX.

conlaci en P' et coupant la précédente en Q, les angles AQA' et BQB' sont égaux; d’ailleurs, plus le pointQ se rapprochera de P, plus les côtés AQ, AQ' tendront à devenir égaux aux côtés BQ, B'Q; lors donc que les tangentes sont infiniment voisines, les triangles AQA', BQB' sont égaux, ainsi que les segments AVB et A'VB'. Le segment AVB, ne variant pas lorsqu'on passe d'une tangente à une tangente consécutive, est donc consunt.

Corollaire. — On prouverait de. la même manière que, lorsque la tangente à une courbe détermine sur une autre courbe un segment dont l’aire est constante, elle est divisée en deux parties égales au point de contact, et réciproquement que, si elle est divisée en deux parties égales au point de contact, elle détermine un segment d’aire constant.

On peut, en s’appuyant sur ce qui précède, mener par un point donné une corde déterminant dans une conique un segment minimum. En effet, pour déterminer un segment de grandeur donnée, il suffit de mener par le point une tangente à une conique semblable et concentrique, dont la distance à la première est d’autant plus grande que l’aire donnée est elle-même plus grande. Pour que faire soit minimum, il faut donc que la conique auxiliaire passe par le point donné, et comme alors la tangente qu’on lui mène y est divisée en deux parties égales, on voit que la corde menée par un point détermine dans une conique un segment d’aire minimum lorsqu’elle est divisée en ce point en deux parties égales.

De même, la corde menée par un point donné de manière à déterminer dans une courbe quelconque un segment maximum ou minimum est divisée en ce point en deux parties égales.

On démontrerait par des raisonnements analogues les deux théorèmes suivants, dus à feu le professeur Mac-Cullagh.

I. Si une tangente AB à une courbe détermine sur une deuxième courbe un arc constant, elle est divisée au point de contact P de telle sorte que le rapport AP ; PB est l’inverse

MÉTHODE DES I^FIMME^'T PETITS. SîS

(lu rapport AO ; OB des tangentes menthes en A et B <1 la deuxième courbe.

II. Si la tangente AB est de longueur constante, et si M est la projection sur AB de l'intersection des tangentes en A et B, on aura AB = MB.