Q'T'=QQ' + O.S

Et comme (19i) les angles TT' K, T''TS sont égaux, on a

par suite, d'où l'on déduit

TS= rit,

PT-+-TQ'= PT'-h'T'Q',

(PT + TQJ -(P'T'4-T'Q')=PP'— OQ'=PO- P’Q'.

Corollaire. — Le théorème est encore vrai pour deux courbes telles, que les tangentes TP, TQ menées par un point T de la courbe extérieure à" la courbe intérieure fassent des angles égaux avec la tangente TT' menée en T à la courbe extérieure.

■VOO. Si l'on mène deux Iniif’entes TP, TQ à une ellipse par an point T d’une hyperbole homofocale, la différence des arcs PK et QK est égale à Indifférence TP — TQ des tangentes (*).

En prenant un point T' (ftg, 122) infiniment voisin et répétant la construction du numéro précédent, on arrive aux relations

(T'P'-P'K)-(TP- PK) = T'R, (T'Q'-Q'K)-(TQ-QK)-TS.

Mais T'R=T'S, puisque (189) TT' est la bissectrice de l’angle RT'S. Donc la dilTérence entre l’excès de TP sur PK et celui de TQ sur QK est constante, et comme, dans le cas particulier où T co'incide avec K, ces deux excès et, par suite, leur dilTérence s’évanouissent, il s’ensuit qu’on a, dans tous les cas,

TP - PKr=TQ - QK.

(*) Celte extension du ihcorènie précédent a été donnée par Mac-Ciillugh {^Dublin^ Exatn. Pnpers^ p. f\\ ; i8'|2, p- OS cl p. 83). M. Chasles y est

arrivé de son côté {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, octobre i8.|3, t. X\M, p. 838).

CUAPITRE Xtl.

Corollaire. — L'n quadrant elliptique peut être divisé de telle manière que la différence des deux segments soit égale à la différence des demi-axes. Il suflîl, en cITel, pour dciermincr

Fi(;. 172.

le poinl de division, de faire passer une hyperbole homofocalc à l’ellipse donnée par l’intersection des tangentes menées à l’ellipse aux extrémités des axes. Les coordonnées x el jdes points d’intersection sont, du reste.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Fagnani.

401. Si tous les sommets, moins un, d'un polygone circonscrit à une conique glissent sur des coniques homofocales, le sommet libre décrit une conique homofocale.

Lorsque le sommet T d’un angle PTQ [Jig. 121) circonscrit à une conique se meut sur une conique homofocale, si l’on désigne par a et 5 les diamètres parallèles à TP, TQ ; par a et P les angles TPT', TQ'T que font chacun des côtés avec leurs positions consécutives, on a la relation ax = b^, qui résulte des égalités ( 399)

TR=T'S, TR = TP.a, T'S = T'Q'.p,

et de ce que ( 149) TP etTQ sont proportionnels aux diamètres qui leur sont parallèles.

Réciproquement, quand on a «a = ôp, le point T se meut sur une conique homofocale. En elTel, en reprenant les équa-

nÉTBODIi DES INFIMMEKT l’ETITS.

Ù2tJ

lions qui prccèilcnl dans l’ordre inverse, on arrive à l’égaliié TR = T'S qui montre (|uc TT' fiiil des angles égaux avec TP, TQ, el, par suite, coïncide avec la tangente à la conique homofocalc menée par le j)oini T. Le point T se trouve donc sur celle conique.

Si l’on désigne par a, b,c,.. . , u les diamètres de la coni(iue

inscrite, parallèles aux côtés du polygone, elpara,^,-/ v

les angles compris respectivement entre deux positions consécutives des côtés, les relations

aoc — b^, bP — cy,.. , niy. — nv

expriment que tous les sommets, moins un, glissent sur des coniques homofocales, el î’équalion qui en résulte

aa — ti'j

montre (|ue le dernier sommet glisse aussi sur une conique homofocole (*).

(•) C<*tU‘ d«*miin}*traUon a etc d<iiuuN} par le 1)^ Hait {^Cninhri<l^eutt€i Duhlln J^uth. JoufN , t. IV, p. 193).

NOTES

NOTES