SUR LE THÉORÈME DE PASCAL
(Pa(>c 340.)
M. Stcinor esl le premier qui appelai*) l’altention des géomètres sur la figure complète obtenue en joignant de toutes les manières possililes six points pris sur une conique, par l’énoncé d'une série de théorèmes qui furent corrigés et éteudus par M. Pliicker (’*). Ce sujet a encore été repris plus récemment (***) par M. Cayley et surtout par M. Kirkman, qui l’ont enrichi de nouveaux théorèmes.
Nons exposerons dans celte Note les plus importants de ces théorèmes dont la plupart peuvent s’obtenir à l’aide des princi[ies les plus élémentaires de la théorie des combinaisons, et des théorèmes suivants ainsi que de leurs réciproques :
lAirujiir 1rs ilmiirs r/tii j<>i"nrnt 1rs sonuurts rorrrsitoniinnts dr deux lrinn"lcs rtmenurrnt rn un mrmr f>ninl , qui est le erntrr d’hniiudu^ir des deux triangles, 1rs inlrrsrrlinns drs rôlrs rorirs/Mim/finls sont siliirrs sur unr ti^nr droite, qui est l’nxr d' homoloair ((il), Ex. III).
Ij>rsrjur dans un sfsiènir dr trois triangles, 1rs inirrsrrtinns drs côtés rorrcs/mnilants dr deux t/urlroni/urs d’rntrr eux sont situés rn ligne droite, 1rs rentres d'iininolngie du premirr et du second triangle, du second et tilt troisième, du troisièmr et du premier sont sur une meme ligne droite.
Prenons sur une conique six points a, h, c, d, e. f que nous ap|iellerüns les points P. On peut les joindre deux à deux par <piinzr droites ah, ne, ad,..., qui .seront les droites C. Chacune d’elles, ah ]«r exemple, rencontre les quatorze autres ; quatre au poiut a, quaire au point b, par conséquent six on des points \nb, rd),. . . distincts des points Pet que nous appellerons p. Il y a quarantr-cimi points p, puisque chaque ligne C en contient six, et qu’il passe deux lignes C par chacun d’eux.
( * ) Annales de iierganne.
(■•) Journal dr Crclle, l. V, j». aÿ4*
(•’*) Cambridge and Dublin Mathematical Journal, l. V, |i. iHri.
NOTES
Si l’on prend les côtés de l’iiexagono dans l’ordre nbrdef, le théorème de Pascal exprime que les trois points p, [ab, de), (rd,fti), [bc, rf) sont situés sur une mémo droite qui est le Pascal nbcdrf et que nous désignerons le plus souvent par la nutation
( ab.cd.rf )
\ dr.fa.bc 1
pour indiquer les points par les([uels il passe.
Par chaque point/;, on pont mener qnalio Pascals. Ainsi le point {ab, de) appartient aux quatre Pascals abedef, abfdir, abcedf, abfedc. On trouvera, par conséquent, le nombre des Pascals, en multipliant par 4 le nombre des points p, et en divisant le produit pur 3, puisqu’il j a trois points P sur chaque Pascal. Il y a donc snijcantc Pascals. On aurait pu obtenir ce résultat plus directement, en calculant le nombre d’arrangements possibles des lettres a, b,c,d, <•,/.
Considérons les trois triangles
(i) ab.cd.rf
de. fa. t/c
(3) cf.be. ad
définis par leurs côtés. Les intersections des côtés correspondants de (i) et (i) appartiennent au mémo Pascal ; par suite les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un môme point. Ces droites sont les trois Pascals
j ab.de.cf j j al. fa.be ) j rj.be. ad )
i cd.fa.be | t ef.be. ad ( / ab.de.cf j
et nous avons ainsi le théorème de Steiner énoncé au n“ 268. Leur point de concours, cpie nous appellerons le [>oint^, sera désigné par la notation
. ab.dr.rf \
‘ cd.fa . be ■ ;
I ef.be. rai I
elle montre que sur chaque Pascal, il n’y a qu’un seul point ", puis qu'étant donné le Pascal
) ab.de.cf j ) cd.fa.be (
on obtient un point g, en ajoutant à chacune de ses colonnes verticales, un nouveau terme formé des deux lettres qui n’entrent point dans les
NOTFS.
«leux lernies du celtu colonne. El comme il pissc trois Pascals par chaque pointai il y a en loul vingt points g-.
Los droites qui dans les triangles (a) et (3), (i) et (2) joignent les sommets correspondants coïncident respectivement et sont concourantes; on voit donc, en se re|iortant au théorème réciproque de la deuxieme pro-, position rappelée plus haut, que les trois «jc.r de ces trois triangles concourent en un même point
J iib.nl.rj \
1 lit'. fa.be (
' cf.be. ail I
qui est un point g, conjugué harmonique par rapport à la conique de celui trouvé précédemment. Les vingt points g forment donc, ainsi que l’a montré Steiner, dix couples de points conjugués. Les Pascals qui passent par ces deux points g correspondent respectivement aux hexagones «érferf, afedeb , adrbrf ; abedrf , afrbcil, arb fcb, dans lesquels les sommets de rang impair conservent la même position relative.
Soient les trois triangles
ab
cd
j ab.cc.df j
( cd.bf.ac I
t cf.bd.ac j
/ dc.bf.at j
/ af.ee. bd (
1 bc.ac.df (
( ab.cc.df 1
( cd.bf.ar 1
( cf.M.ar 1
j cf.bd.ac 1
) bc.ac.df J
1 ad.cr.bf (
Ixs intersections des côtés homologues do (1) et (4) sont trois points qui appartiennent au même Pascal ; par suite, les droites qui joignent lis sommets correspondants concourent en un mémo |voint. D’ailleurs ces droites sont les tiois Pascals
j ab .rc, df j j cd.bf.ar j j rf.ttr. M )
i cd.bf.ar | ( cf.ac.bd i ( ab.df.ee (
Leur point de concours
i ab.cc.df \
• rd.bf.ac >
I cf.ac.bd )
sera un point A, dont la notation diffère de colle d'un point g en ce qu’elle ne renferme qu’une. seule colonne verticale comprenant les six lettres sans omission ni répétition.
Sur cliaqiie Pascal
NOTKS.
/ iif.nf.be
trouvent les trois points
i Té.ttl.ef 1
f nb.Vil.ef
( tle.tij.be
* fie. fij.be
( ef.btl.uc '
( fn .be.flf
nb.ril.rj | i/f.aj.hc bf.cr.ful )
(Les colonnes placées sous le signe — sont relies qui contiennent les six lettres.) Nous avons ainsi le lliéorènie de Steiner, étendu |>arM. Kirkman.
Ij's Ptui nLs se coupent trois pur trois, non-seulement aux vingt jinints g rte Steiner, niriis encore en soixnnte uutres /xAnts h.
La démonstration du n^iiiS s'applique aussi bien au tliéoréine do M. Kirkinan qu'à celui de Steiner.
Les lignes qui dans les triangles (i) cl (5) joignent les sommets correspondants se confondent avec les droites analogues des triangles (i) et (4); les côtés homologues se coupent donc sur une même droite, qui est un Pascal. De même, les côtés lioinulogues do (4) et (5) se coupent aux trois points h
1ub.ce.ilf I 1 ne.rtl.bf j i uc.bd.ef j
(te.bf.uc M / btl.uf.ee fi • tlf.ae.be m
ef.ac. btl I ( ac. be.tlf ) ( ce.bf.utl )
qui sont en ligne droite.
De plus les axes de (4 ) et (5), de (i) et (4 ), de (i) et (5) concourent en un même point, qui est le point g
É ub.ctl.ef 1 • tle.uf.be >1 t ef.be.ut/ )
dont la notation s'obtient en combinant les trois colonnes verticales complètes, des trois points fi. On a ainsi le théorème suivant :
Il »■ ti vingt lignes G , tpii contiennent clincune un /mint g et trois pt inis h.
Ces lignes ont été indiquées par M. Cayle.y et par M. Salmon. La démonstration donnée plus haut est celle de M. Cayley.
On peut démontrer de la même manière que les vingt lignes G passent
NOTES
(jimtre pur ipiatrr, par fjuinzc /mints i. En effet les quatre droites G sur lesquelles se trouvent les points h, qui dans la notation prérédente ont une colonne verticale commune, passent par le môme [>oint.
Si l'on considère trois Pascals passant [wr un môme point /i,
j nb.ce.ilf ) ( tic.bf.ac | ( rf.nr.bti j
( lie . bf. ne | ^ rf. ne.bil \ ' ) ab. df. rc |
on |)Cut, en prenant sur chacun d'eux un point />, former un triangle ayant [df.ac), [bj.ar), [bd.ee) pour sommets, et par suite pour côtés
( ac.bf.de ) ( bf.re.ad j 1 bd.ae.ef )
J df.ac. eb (' j ae.bd.rf j ( ee.df.ab )
Si (le plus on prend sur cliacuu d'eux un point /i, en écrivant sous chaque Pascal af rd, bc, on forme un trùmgle dont les côtés sont
j ac.bf.de | I rf.ac.bd j t df.ab.ee j
[ bc.cd.af i I bc.cd.af ) | be.cd.af j
Les intersections des côtés homologues de ces triangles, qui doivent être situés en ligne droite, sont les trois points g
1 be.cd.af | / bc.cd.af j , bc.cil.af |
nc.bf.de :> < ef.nc.l»! t | df.ab.ee W
df.ac.be ; ( nd.bf.ee ^ ( ac.ef.bd 1
auxipiels on peut en ajouter un quatrième
Ibc . cd. aj \ cf.nb.de n ad.ef.be )
en se guidant sur la symétrie do la notation, qui fait voir que ce quatrième |K)int doit se trouver sur la droite déterminée par les trois autres. Ces |K)ints g sont du reste les seuls dans l'expression dest^uolson puisse faire entier bc.cd.af. D’ailleurs on (xnit former quinze produits de la forme be.cd.af, ce qui donne le théorème de Sleiner.
J.e.1 /Miiati g sont situés ijiiatrc par ipattre sur ipiinze droites I.
Les théorèmes que nous venons do démonlrer sont assujettis, ainsi que l'a fait remarquer .M. Hesse, à une certaine loi de réciprocité. Ainsi il y a soi.rnate |X)ints/ido Kirkman auxquels corresimndent .««'.rfi//zclignes H de Pascal. Parchacun des w//gi iHiintsgdeSteiner passent imis Pascals H et une ligne G; é chacune des vingt droites G appartiennent trois points h
NOTES
do Kirkman et un ftoitu de Sloiner. Les vingt lignes G passent, quatre par quatre, |>ar quinze points i, et les vingt /mints g sont situés, quatre par quatre, sur ipiinzc droites I.
Les indications suivantes, qui peuvent fournir une démonstration de quelques-uns des théorèmes précédents, servent en outre à déterminer le point h qui correspond au Pascal obtenu en prenant les sommets dans un ordre déterminé abrdef. Considérons les deux triangles inscrits ace,Mf : leurs côtés sont tangents à une mémo conique (335, Ex. IV), cl l’on peut appliquer le théorème do Brianchon à l'hexagone dont les côtés sont ce, 'Ifs ne, hf, ne, M. En prenant les côtés dans cet ordre, les diagonales de l’hexagone sont Iw trois Pascals cx>ncourant au point h
ce.bf.ml \ df.nc.be ne.bd.cf ;
et puisqu'on conservant les côtés de rang impair, on peut etiectuer sur les trois autres une permutation circulaire, on voit, d’après le théorème réciproque du théorème de Steiner, que les trois points de Brianchon qui résultent do cette permutation appartiennent à une môme dioile : par suite, qu’il y a trois points ô sur une ligne G. En partant du mémo hexagone circonscrit, on voit, en outre, que lus droites qui joignent respectivement les points a et (bc.df), d et {ar.ef) se coupent sur le Pascal nbedef, et que chaque Pascal contient six intersections analogues.
Dans une publication récente (*), M. Caylcy a déduit les propriétés do celte ligure en la considérant comme la projection des intersections do six plans.
