DES SYSTÈMES DE COORDONNÉES TA NGENTI ELLES

(Page 4o3.)

Dans le cours de cet Ouvrage, nous avons habituellement considéré comme coordonnées tangentielles d’une droite /a -t- «/p -i- «7, les constantes /, m et /ide l’équation de celle droite (70), et nous avons appelé éifuation tangentielle d’une courbe, la relation qui doit exister entre ces constantes pour que celle droite soit tangente à la courbe. Ce système, auquel on peut du reste ramener tous les autres systèmes de coordonnées tangentielles, nous paraissait lié d’une façon plus intime aux

(* ) Quartfrijr Juttinul, t. IX, p. .1(8.

NOTES

Iliéorips qui font l’objcl de ce Trailf. Nous donnerons dans celte Noie quelques indications com|ilémenlaires sur ce sysUune, et nous ex|K)serons sommairement les princi|H;s de quelques autres syU)me8 de coordonnées tangenlielles.

Nons avons vu (13i, Ex. VI) que l’équation tangenlielle d’un cercle de rayon r, ayant son rentre en (a', [b’, •/) est de la forme

= /■’(/’-!- /;/’ -t- //’ — ’xnm cosA — a/// cos B — ■ihn cos C).

En égalant séparément son deuxième membre à zéro, on obtient une équation qui se décompose en deux facteurs et, par suite, représente deux points que nous allons déterminer. Ce produit a été obtenu, en formant, dans le développement de /a -e «y ((H ) la somme des carrés des coefficients de J et.) , /cos a -i- m cos [b -»-// cos y, / sina -i-n;sinS -t- « siny ; d'ailleurs la relation n’-r-/>’ = o exprime que 1a droite «r-t- ér-(-r= o est parallèle à l'une ou à l'autre dos droites x±r^— i = o. Ces ileux points sont donc les deux points imaginaires et à l'infini du cercle.

Ce résultat peut du reste se déduire direclemenl de l’équation tangentielle du cercle que nous venons de rappeler. Soient en effet w et m' les deux facteurs qui forment le deuxième membre de l'équation, a le centre; celte équation pourra se mettre sous la forme a’= r’ww’, qui montre )|ue w et w' sont les points de contact des tangentes menées au cercle par a.

De même, si, pour former l'équation tangenlielle d’une conique dont les foyers sont donnés, on exprime que le produit des distances d'une tangente aux foyers est constante, on obtient la relation

(/a' 4- Hifi' 4- «•/' ) ( /a* 4- wft* 4- «y’) = /l’ww',

qui montre que la conique est tangente aux droites ipii joignent les deux foyers aux points <u,w' (279).

Le résultat obtenu en substituant les coordoniiées tangenlielles d'une droite dans l'équation d'un point est proportionnel à la distance de la droite k ce point (01 ); et en interprébint, d’après ce principe, les équations tangenlielles = Xyo, ay = / on retombe sur les tliéorcmos démontrés comme réciproques au n° 311. De même, le résultat obtenu en substituant, aux coordonnées courantes de l'équation du cercle, les coordonnées tangenlielles d’une droite, est proportionnel au carré de la corde interceptée par le cercle surla droite ; si donc ï et représentent deux cercle.s, l'équation S = /’£' exprime que l’enveloppe d'une droite, sur laquelle deux cercles donnés déterminent des segments qui sont dans un

KOTKS. 53^

rapport constant, est une conique qui touche les tangentes communes au\ deux cercles.

Remarquons enfin qu'un système de deux points ne peut pas être représenté par une équation trilinéairc, pas plus (|u’un couple de droites par une équation tangentiellc. Lorsqu'on se donne une équation tangentielle représentant deux points, et que l'on forme, comme au n“ 28S, l'équation trilinéairc correspondante, on obtient pour résultat le carré de l'érpiation de la droite qui joint ces deux points, mais toute trare des points eux-mémes a disparu. De même, l'équation trilinéairc du couple de droites passant par un point correspond à l’équation tan-

gentielle ( /a' mb' -t- «'/’)’ = o. D’ailleurs, une droite est tangente à une courbe lorsqu'elle la rencontre en deux points qui coïncident, et quand une conique se transforme en un couple de droites, toute droite qui passe par leur intersection peut être considérée comme une tangente du système.

La méthode des coordonnr'cs tangentielles peut être présentée sous une forme qui ne siqipose aucune connaissance préalable des coordonnées cartésiennes ou trilinéaires. De même que, dans ce dernier système, nous avons défini la position d'un point par les rapports mutuels de ses distances à trois droites fixes, de même nous pouvons (311) définir une droite par les rapiKu ts mutuels de ses distances à trois points fixes. Il est alors facile de voir, en suivant la même marche qu’au n° 7, que si > et ft sont les distances à cette droite de deux points A et B, la distance du point, qui divise AB

dans le rapport do /« a / a pour expression = l>ar suite, la rela-

tion /'a -+■ wu = O, qui exprime qu’une droite passe par ce point, peut être considérée comme l'équation de ce i>oint. Ainsi ). -i- p = o repré.sente le milieu de AB, et >. — p =r o est l'équation d’un point situé à l'infini sur AB. On démontrerait de même (7, Ex. VI) que //. -f- wp -t- «» = o représente un pointu IJîg-. 3g, p. 87) qu’on peut obtenir en divisant respectivement, soit BC et .AD dans les rapports de h à /«, et de ui -1- « à /, soit AC et BE dans les rapports de / à n et ilo t h'a m, soit enfin AB et CF dans les rapports de /// à / et de / -i- /« à //. Si l'on observe ipie le rapport des triangles AOB cl AOC est le même que celui de HD à BC. on voit que l’on peut mettre l'ëiiuation du (loint O sous la forme

BÜC./. -t- COA.p -1- AOB.v = o,

ou, en remplaçant l'aire de chaque triangle BOC par sa valeur o'j>'’sinO (311),

sinO liSinO' vsinO'

NOTES

Los coordonnées de la droite à l'infini sont ).= (* = v, puisque tons les points situés à une distance finie peuvent être considérés comme épaloinent distants de cette droite; par suite, le point /'a h- ;;ip -t- nv sera situé à l'infini, quand on aura / h- /« -i- n = o ; plug généralement, une courbe est tangente à la droite à l'infini lorsque la somme des coefficients de son équation est égale à zéro. On verrait, do même, que les intersections des médianes, des bissectrices et des hauteurs du triangle de référence ont respectivement pour équations

À -t- IA H- V = O, À sin.\ -h lA gin B h- v sinC = o,

À langA -i- IA tangB -t- > tangC = o.

Nous bornerons ici l'étude des applications de ces coordonnées, parce qu’en définitive, elles ne diflérent que par un facteur constant de celtes dont nous avons fait usage habituellement. En effet, la distance d'un point (a', S', 7') à une droite la. -t~ mfj «7 a pour valeur l’expression (fil)

la' -h ny'

■ ■xwii cos A — a fil cosB — altn cosC

dans laquelle le dénominatenr est indépendant de la position du point. Si donc /A, /a',/a* représentent les distances des sommets du triangle de référence aux côtés opposés, les distances a, ,ia et v de cos sommets à cette droite sont respectivement proportionnelles à l/>, mp’, /ip'-, et on peut facilement' transformer les équations tangcntielles ordinaires, qui sont homogènes en l, tn, n, en de nouvelles équations tangentiellcs exprimées au moyen des distances À, ,u et v. Il est d’ailleurs évident, d'après co que nous venons de dire, que les valeurs de a, ia et v vérifient la relation

It’ v’ Uï , vl >tt

-I- H iT — 'A COS A — IA - , COS B — IA -A-, COS C — ' I •

p‘ p' p‘ PP PP PP

Nous avons du reste indiqué(‘311 ) la marche ô suivre pour déduire de l'équation trilinéaire d'une courbe l’équation en coordonntH;s tangentiellcs de la courbe réciproque.

Au système de coordonnées tangcntielles, défini par trois points de référence, se rattachent deux autres systèmes, qui en paraissent indépendants de primo abord ; ce sont ceux qu’on obtient en supposant qu’un on deux des points de référence s’éloignent à l’infini.

Supposons qu’un des points de référence C [fig. i'i3) soit à l'infini; V et p’ deviennent à la fois infinis ; mais leur rapport reste fini et égal ù sinCOE,DOE étant une droite quelconque menée par le point O. L’équation du point donnée plus haut prend alors la forme

sin 0 A P sinCüE

sinO’

sinCUE

-I- sinO”

NOTES

Lorsque le point O est donné, elle ne contient que les deux variables A : sinCOE, fl : sinCOE, qui, en raison do l’égalité sinCOE = sinODA, peuvent êtres remplacées par AD et BE. En d’autre., termes, si l’on prend

Fig. n3.

pour coordonnées les segments AD et BE déterminés par une droite variable DE sur deux parallèles Hxes AD et BE, une équation quelconque <j>H-tfi + c=o représente un point et peut être considérée comme la forme prise par l’équation homogène n~k -p iji -+- c-j = o, lorsque le point V = O s’éloigne à l’infini. (fo/>n“ 09.)

L’exemple suivant se rapporte à l’emploi de pareilles coordonnées. On sait, d’après la théorie des sections coniques, que l'équation générale du second degré peut se ramener à la forme af = X’, dans lesquelles » et ^ sont des fonctions linéaires des coordonnées : et ce résultat analytique est complètement indépendant de l’interprétation géométrique que l’on peut donner des é(|uations. Il en résulte que, dans le système de coordonnées indiqué plus haut, l’équation générale des courbes de la seconde classe peut so ramener à la mémo forme «p = X’, qui représente alors une courbe, à laquelle appartiennent les points x et p, et qui a pour tangentes, en ces points, les parallèles qui joignent zet %au point X situé à l’infini. On retombe ainsi sur le théorème bien connu: Dans uneconir/iir, toute tangente variable tlcternune sur tleujc tangentes fi-zes et parallèles (les segments dont le produit est constant.

Considérons enfin le cas où deux des points do référence s’éloignent à l'infini. L’éqnation du point devient alors (Jlg. iz4)

’AsinO

sinO'sinBOD sinCi'COE = o,

ou, comme il est facile de le voir.

sint

sinO'

sin 0’ — = o.

Lorsque le point O est donné, cette oiiuation ne renferme comme va-

NOTES

riables que les se?;menLsAD el AE. Si donc on prend, pour coordonnées d’une droite, les /necr.tc.t des sofjmenls qu’elle détermine sur les axes, une

Kig. u4'

(’siuation linéaire entre ces coordonnées représente un point, el une équation du degré n, une courbe de la classe.

Il est d'ailleurs évident que l'équation tangentielle obtenue de celle manière est do la mémo forme que celle que nous avons employée jusqu’ici, et qui a pour coordonnées soit les coelTicients l, m de l’équation en coordonnées cartésiennes tx -t- my = 1, soit les rapports mutuels des coeflicients de l'équation analogue !x -1- my + n = o.

suit LA FORME DONNÉE PAR M. CASEY A L’ÉQUATION D’UNE CONIQUE AYANT UN DOUBLE CONTACT AVEC UNE CONIQUE FI.\E, ET TANGENTE A TROIS AUTRES t’.ONIQUES.

(Page So.'i.)

On peut obtenir cette équation en suivant une marche analogue à celle indiquée au n” 132, Ex. IV. Soient

x' -e y-’ -r- = O, Ix ■+- my -f- nz = 0, /'.r -t- m'y -t- n’z = o

les équations de la conique S et des droites L et M. Ui condition |>our cpie les deux coniques S — L’, S — M’ se touchent, peut s’écrire ( 387 )

en posant S' = -I- ru’ -t- S" = l" ■+- -t- R = //' -1- mm’ -h ««'.

Désignons en outre, pour abréger, par (la) la quantité

NOTES. 541

Si l'on ellfduf, il’aiirès lis régies connues, le produit des deux exprès-, sion^