OT

un obtient le déterminant

(là)

v'ns' (.2)

i|ui doit être nul, puisque les facteurs contiennent six lignes liorizonlales et seulement cinq colonnes. L’équalion qu'on obtient ainsi est vériQée |>ar les invariants des cinq coniques qui ont un double contact avec S. Lorsque la conique (5)cst tanguante aux ({uatre autres, les expressions [i5 ),... s'annulent, et les invariantsdesqualre coniques qui, ayant avec S un double contact, sont tangentes à une cinquième conique, satisfont à la relation

j(iî) O (a3) {»4)|^^

qui devient, après le développement,

v'(i2)(34) ± v'ii3)(24) ± v'h4)(23) = O.

On peut déduire de cette équation , celle d'une conique qui en touche trois autres, en opérant de lu manière suivante. Lorsque le discriminant d'une conique s'annule on a S = 1, et la condition de contact avec une quelconque des autres coniques se réduit à R = i; si donc a, p et 7 sont les coordonnées d'un point vérifiant la relation S — L’ = o, c'est-à-dire

NOTES

.r’ -f- 2’ — (U -H H/) + nzf — O, l'équalion

représente une conique, dont le discriminant est nul, et qui touche S — L’. Par suite, étant données les trois coniques S — L’, S — M', S — N’, si l'on prend un pointquelconque(a,^,7)sur la conique qui leur est tangente, el que l'on considère comme quatrième conique celle dont nous venons d'écrire l'équation, les quantités (i4), (a4), (34) ont respectivement |X)ur valeurs

I — t , I — I et les coordonnées d'un point quelconque

de la conique tangente aux trois autres satisfont à la relation

vVa3)(v'S — L) ± V(3i)(v/S - M) ± v'(ia) (v^S — N) 1= o.

SUR LE TRACÉ D UNE CmiQUE ASSUJETTIE A CINÜ CONDITIONS.

Nous avons vu (128) que cinq conditions déterminent une courbe du second degré; on peut donc, en général, tracer une conique lorsqu'on en connaît m points et n tangentes, m -h n étant égal à 5. Nous ne pensons pas qu'il y ait grande utilité à traiter s<>parément les cas où parmi les données s'en trouvent quelques-unes à l'infini, d’autant plus qu'il suffit presque toujours, pour construire la conique, de modifier légèrement la construction indiquée pour le cas général. .Ainsi, par exemple, on sait qu’nnc /mml/rir à une niymplole équivaut à une condition, puisqu’on a ainsi un point de la courbe, celui qui est situé è l'infini sur cette parallèle. Pour tracer une conique, étant donnés quatre [toints et une asymptote, il sulfit de supposer, dans la construction indiquéeau n° 338, <pie le point E est à l'infini, et que les droites DE, QE sont parallèles à la droite donnée; ce (|ui n’entraine pas une modification bien grande dans le tracé primitif.

Une n.\riii/>lnie équivaut à deux conditions, puisque l'on s<^ donne ainsi une tangente et son point de coulai t, qui est à l’infini sur l’asymptote. Dire que In rmirhe est une parnhotc correspond à une cou lilion, puisque l'on connaît alors une tangente qid est la droite à l’infini. Savoir que !n courbe est un renie implique deux conditions, puisque tous les cercles (rassent par deux mêmes points situés à l’infini. Un fojer équivaut à deux

NOTES

tangenles (2îi8) el par suite à deux conditions. On peut voir, du reste, qu'il sufBt alors do trois autres conditions pour déterminer la eonique, puisqu'on prenant le foyer pour origine, et se reportant au tracé des courbes réciproques, tout se réduit à décrire un cercle assujetti é trois conditions; et rien n'empècbe de transformer par la métliode réciproque, pour revenir à la conique, la solution de ce problème, qu'il est facile d'obtenir parla géométrie élémentaire. Nous laissons au lecteur le soin de déterminer, par ce procédé, les directrices des quatre coniques définies par un foyer et trois points.

Le jMe d’une droite donnée ftar rapjmrt à ta rnidijue équivaut à deux conditions. En effet, soient l’ le |mMo de R'R’ (^g. 54, p. 207) et T un point rie la courbe ; en prenant le quatrième harmonique T' on aura un autre point de la courbe; d'ailleurs si OT est une tangente, OT' en sera une autre. Si donc on sc donne, outre une droite et son pôle, trois |)oints ou trois tangentes, on peut en trouver iinmt'Hlialement trois autres et tracer la courbe.

Le centre équivaut à deux conditions, puisque le centre est le pôle de la droite à l'inlini. Connaître un point de la polaire d'un ))oint donné représente une condition. Ainsi , dire que tn courbe est une hypcrbtde éiiuiliitère revient à exprimer que les deux points à l’infini du cercle se trouvent chacun sur la (lolaire de l'autre par rapport à la courbe. Un irian"le autopotaire équivaut à trois conditions ( lorsque celte donnée se rapporte à une parabole, elle est la même que celle de trois tangentes) :

1° Construire une rnniipie rounuissnnt cin<i points. Nous avons montré (âliD), comnnent, avec le secours do la règle seulement, on peut déterminer aniant de points de la courbe qu'on le désire; ou jicut également trouver la polaire d'un point quelconque par rapport à la courbe ( I fC), ou le pôle d'une droite donnée, et par suite le centre.

2* Ciiui tangentes. On peut transformer, par voie réciproque, la construction du n° 2(19; ou ramener ce problème au précédent d’après les indications de l'Exercice IV du n" 268.

3“ (Juutre /mints et une tunocute. Nous avons déjà (IH.’!, Ex. IV ) indiqué une solution de ce problème, qui en admet deux et, par suite, exige plus que l'emploi de la règle.

Soient AB, a,n',b,b' la tangente et les quatre (roints donnés; on a, d’après le théorème do Carnot (313)

.\f ..\c'.B«.B«'.C/<.Cô' = Aô. Aô'.Bc .Bc'.Cn.Co', et comme les points cet c co'incident, cette relation suffit [wur déler-

miner le ra|>porl Ac : Bc . On [K-ut aussi ramener ce problème à l'un

NOTES

des suivants, en observant que la connaissance do quatre points entraine (282) celle des polaires de trois points, et qu’en ayant une tangente on peut immédiatement en trouver trois; de telle sorte qu’on obtient ainsi quatre points et quatre tangentes.

4° Quatre itt/iijr/ilrs et un imint. I,a solution de ce problème peut se déduire de celle du précédent, par la méthode réciproque, ou par le procédé qui s’y trouve indiqué, pui.squ’en se donnant quatre tangentes, il y a trois points dont on connaît les polaires (I tG).

5° fminls et deux tangentes. Le théorème suivant est un cas

particulier do celui du n" 3it. Les deux points où une droite rencontre une conique et) ceux où elle coupe deux de ses tangentes appartiennent à un système en involution qui a pour un de ses foyers l’intersection de cette droite avec la corde do contact. Si donc la ligne qui joint deux des points donnés n et b est coupée par les deux tangenti-s en A et B, la corde de contact do ces tangentes passe par l'im ou l'autre des points fixi's F et F', qui sont les foycrsdu système (n.i.A.B),(28G, Ex.). De mémo la corde de contact passe par 1 un ou l’autre des points fixes G, G' siluts sur la droite qui joint les points donnés n et c. La corde de contact est donc l'une ou l’autre des droites FG, FG', F'G, F'G'.et le problème admet quatre solutions.

6" Deux fMiints et trais tangentes. Le triangle formé par les trois cordes de contact a ses sommets situés chacun sur une des tangentes, et comme, d'après le théorème énoncé plus haut , chacun do ces cotés passe par un point fixe de la droite qui joint les deux points fixes, on peut construire le triangle.

Ijt construction d’une conique de laquelle on connaît deux points ou deux tangentes, n’est qu’un cas jiarticulier de celui où la conique doit avoir un double contact avec une conique donnée. Le tracé d’une conique ayant un double contact avec une conique donnée et tangente à trois droites, ou passant par trois points, a été indiqué aux n"* 328 et 387. Nous avons résolu au n° 28G le problème de trouver une conique ayant un double contact avec deux coniques données et passant par un |>oint, ou tangente à une droite; et au n” 387 celui de tracer une coniqne ayant un double contact avec une conique donnée, et touchant en même temps trois autres coniques qui ont aussi un double contact avec la première.

NOTES