DES SYSTÈMES DE CONIQUES ASSUJETTIES A QUATRE CONDITIONS

Lorsqu’on ne donne que quatre conditions pour déterminer une conique, on peut trouver tout un système de coniques satisfaisant à ces conditions. Les propriétés des systèmes de courbes assujetties à un nombre de conditions inférieur d'une unité à celui qui est nécessaire pour les définir, ont été étudiées par M.M. de Jonquières, Chasles, Zeuthen et Cayley (*); nous exposerons succinctement dans cette Note quelquesuns des résultats qu’on peut obtenir par la méthode des caractéristiques, méthode qui est due à M. Chasles.

Lorsque dans un système de coniques satisfaisant à quatre conditions il y en a P qui passent par un (loint donné, et v qui touchent une droite donnée, on dit que et v sont les caractéristiques du système. Ainsi les caractéristiques d’un système de coniques passant par quatre points sont I et a, parce qu’en ajoutant aux conditions primitives un cinquième point on ne peut construire qu’une seule conique, tandis qu’en y ajoutant une tangente on peut en construire deux. De même, les caractéristiques des systèmes définis par trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, un point et trois tangentes, quatre tangentes, sont respectivement (a, 4) (4, 4), (4, 2), (a, i).

On peut déterminer à priori l’ordre et la classe de beaucoup de lieux liés au système, en se basant uniquement sur les définitions que nous avons données rie l’ordre et de la classe : une courbe est du it'"“ ordre lorsqu’elle rencontre une droite quelconque on n points, réels ou imaginaires; une courbe est de la classe lorsque par un point arbitraire on peut lui mener n tangentes, réelles ou imaginaires. Ainsi le lieu du pôle d’une droite donnée par rapport à un système dont les caractéristiques sont fl et V est une courbe de l’ordre v. En elfet, si l’on examine en combien de points ce lieu peut couper la droite donnée, on voit qu’il ne peut la rencontrer que lorsque le pôle de la droite se trouve sur la droite, c’est-à-dire quand cette droite est tangente à une conique du système : et comme, jiar hypothèse, ce contact ne peut se produire que dans v cas, le lieu est du degré v. Ce résultat est en parfaite concordance avec ceux que nous avons obtenus dans quelques cas particuliers, comme le degré du lieu des centres des coniques passant par quatre points ou tangentes à quatre droites, etc.

(*) On trouvera l'indication dea aourcea originalea dana le .Mémoire de M. Cayley {Pkilosophical Transactions^ *807, P- 7^)-

NOTES

Délt'rminons maintenant l’ordre du lion du foyer des coniques de c** système En généralisaiit la question, au moyen de la conce)>tion des foyers exiioséo au n” 37 f, on voit que ce problème n’csl qu’un ras particulier du suiviuit : Étant ilonnf'S deux points A et B, trouver le de^ré ilu lieu de l’intersection des tangentes menées respectivement aux coniques du système ]>ar A et B. Si l’on examine en combien de points ce lieu peut rencontrer la droite AB, on voit immédiatement que lorsqu’un de st'sixiinfsest sur AB, AB est tangente à la conique. Soit T le point de contact; la tangente AT rencontre en T la tangente BT, et en B la deuxième tangente menée par B; de même la tangente BT rencontre en A la deuxième tangente menée par le [loint A. Par suite, à toutes les coniques qui touchent AB. correspondent sur AB trois points du lieu, qui e.st ainsi de l’ordre 3v et dans lequel A et B sont des points multiples de l’ordre v. Le lieu des foyers des roni- ()ucs tangentes à quatre droites est donc une cubiipie, qui passe par les deux points du cercle situés à l’infini.

Lorsque parmi les conditions du système se trouxe celle que la droite AB soit tangente aux coniipies, toute transversale menée par A rencontre le lieu en v points distincts do A, et A lui-méme est un |ioiut multiple de l'ordre v; le lieu se réduit alors à l’ordre av. C’est celui du lieu des foyers des paraboles assujetties à trois conditions.

Le principe suivant est très-important au point de vue de ces recherches. Lorsque deux point* .\ et A', appartenant à une droite, se correspondent de telle sorte qu’à une position quelconque de A correspondent /// positions de A', et qu’à une position quelconque de A' correspondent « positions de A, il y a ni ■+- « cas dans le.sqiiels A et A' co’i'ncitlenl . Ce théorème se démontre, comme ceux des ti™ 336 et 310. Si l'on prend la droite sur laquelle se trouvent A et A' pour axe des les abscisses jt et .r' de ces points sont assujettis à une certaine relation qui e.st par hypothèse du /«^""degréen T, et du n'"" en .r', et qui devient, par suite, du degré m -e n lorsiju’on y fait x = x'.

Comme application de ce principe, cherchons l’ordre du lieu des points dont la polaire, par rapport à une conique fixe, est la même que |)ar ra|q>ort à une conique du système, et voyons combien de ses points |>euvent se trouveren lignedroite. Si l'on considère sur celte droite deux points Ael A' tels, que la polaire de A par rapport à la conique fixe coïncide avec la polaire de A', par rapport h une dos coniques du système, le problème revient à trouver dans combien de cas A et A’ coïncident. Lorsque A est fixe, sa polaire par rapport à la conique fixe est fixe; le lieu du pùle île cotte dernière ligne par rapport aux coniques du système est, d’après le premier théorème, de l’ordre v, et détermine, par suite, sur la droite donnée ï positions du (wint A'. Examinons maintenant combien de positions

^OTES.

de A correspondent à une position déterminée do A'. D'après le théorème réciproque du premier, les polaires do A' par rapport aux coniques du système enveloppent une courbe de la classe p, à laquelle, par suite, on peut mener p tangentes par le (lôle de la droite donnée AA', pris par rapport à la conique fixe. Par conséquent p positions de A correspondent à une position de A' : il y a donc p4- v cas pour lesquels A et A' co'incident, et le beu cherché est de l’ordre p-t- v.

Ce qui précède nous permet de déterminer immédiatement dans un système le nombre de coniques qui touchent une conique fixe, puisque chaque point de contact a même polaire par rapport à la conique fixe et à une conique du système. Ce point de contact se trouve donc à l'intersection de la conique fixe avec le lieu trouvé précédemment, qui la rencontre évidemment en a(p -4- v) points. On obtient ainsi le nombre de coniques qui, touchant une conique fixe, sont assujetties à quatre conditions ; quatre points, trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, etc. Ces nombres, qui sont respectivement G, 12, iG, 12, G, nous permettent de calculer les caractéristiques des systèmes de coniques qui touchent une conique et satisfont à trois autres conditions ; trois points, deux points et une tangente, etc. ; elles ont pour valeurs rej^pecüves (6, 12), (12, iG), (iG, 12), (12, G).

De même, les coniques de ces différents systèmes qui tourhcnl une deuxième conique fixe sont au nombre de 36, 56, 5G, 3C, ce qui donne (36,56), (56,56), (56,36), pour les caractéristiques respectives des systèmes dont les courbes louchent deux coniques fixes et satisfont à deux conditions : deux points, un point et une tangente, deux tangentes.

Les coniques de ces différents systèmes qui touchent une troisième conique fixe sont au nombre de 184,224, 184 : on a ainsi (184, 224), (224, 1 84 ) pour les caractéristiques des systèmes définis par trois coniques et un point, trois coniques et une tangente.

Le nonbre des coniques de ces systèmes qui touchent une quatrième conique est pour chacun d'eux deSiG; et, par suite, on peut mener3264 coniques qui touchent à la fois cinq coniques données.

Nous renverrons pour de plus ampdes détails aux Mémoires déjà cités, et nous nous contenterons d’ajouter ici que 2v — u coniques du système se réduisent à un couple do droites et 2u — v à un couple de points.