CHAPITRE II

du double signe, puisque nous l’obienons en extrayant une racine carrée. Dans le cas où il n'y a qu’une seule aire à considérer, et où par suite il ne saurait être question que de grandeur absolue, c'est chose inutile. Mais il n’en est plus de même lorsqu’on a à évaluer «leux triangles dont les sommets ^i), {-T„ /,) ne se trouvent pas du même côté delà droite joignant {x„ ), et qui sert de base commune aux

deux triangles; il faut alors donner des signes différents aux aires de ces triangles, et la surface du quadrilatère formé j ar ces quatre points est la somme, et non la différence, de ces deux triangles.

Corollaire /. — l.c double de l’aire du triangle formé par les

points (x,, r,), (x,, y,) et l’origine s’obtient en faisant x,= o,

7-, = o dans l’expression précédente eta poUr valeur x, — r,x„

Corollaire II. — Considérée au point de vue géométrique, la condition (n" 39) pour que trois points soient en ligne droite exprime que l’aire du triangle formé par ces trois points est nulle.

37. Exprimer l'aire d'un polyf^one en fonction des coordonnées de ses sommets.

Joignons un point quelconque {.r, j), pris dans l’intérieur du polygone à tous les sommets {x,, y,), {x„ y,}, {x„ yy),. . nous diviserons ainsi le polygone en un certain nombre de triangles, et la somme des aires de ces triangles sera évidemment égale à l’aire du polygone. Le double de l’aire declia(|ue triangle est jn“ 3G) respectivement

— Ji) —/{ ri — ^,] + x,y, -h x,y„

.Vi) — /(-rj — Xy) -hXyyy — xyy„

Ajoutant toutes ces valeurs, et observant que la somme des facteurs de x ou dey est nulle (ainsi que cela doit être, puisque l’aire du polygone est indépendante de la manière dont

DE LA LIGNE DBOITE. 45

olle n éit? divisée en triangles}, on trouve pour le double de l'aire du pol^'gone

+ ( ■r., J-, — X. j., ) -h ( x. Vi — X, ),

expression qui peut s'écrire

ou bien encore

EXERCICES