AB' — B \' ) ( A' B — B^À" ) ( A" B — B" A
Si les trois droites sont concourantes, cette expression s’annule (n° 38); si deux des droites sont parallèles, elle devient infinie ( n" 23).
4-Ü. Trouver Téqualion d'une droite passant par l'intersection de deux droites données.
DB Ik LIGNE DEOITE.
On peuirnsoudre relie quesiion en substilunnlàx' ei> ' dans l'équalion y—y=m{x—x')du ii” 28, les coordonnées de l’inlerseclion des deux di oiles, délerminées d’après le n”31. Mais on arrive plus racilemenl au résullal en s'appuvanl sur le principe suivanl, qui csl d'une grande imporiance.
Si S= O, S'=o sont les Aquations Je deux lieux, le lieu représenté par l’équation S 4- /< S' =: o ( dans laquelle k est une constante) passe parles points communs aux deux premiers.
Il esl évidcnl, en effci, que loui couple de coordonnées qui salisfera à la fois aux équalions S = o, S' = o saiisfera aussi à l’équalion S -f- hS'—o.
Il résulle de là que ré({UJlion
( Ax + B.»- + C) -f- /. (A'x 4- B'7 -h C') = O,
qui esl du premier degré, représente une droite passant par l’inlcrseciion des deux droites
Ax -t- B|- + C = O, A'x H- B'/ + C' = O.
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites satisfont évidemment à l’équation
puisqu’elles annulent séparément chacune des deux parties de celte équation.
EXEnr.ic.ES.
I. Trouver réqualion de la droite joignaul à l’origine rinterscclion de
Ax-i-B/4-C = o, A'x -t- B’ )• H- C = O.
Réponse. Multipliant la première é<|uatiun par C', la seconde parC, et soustrayant, on obtient l'équation chercliéo
(AC' - A’C)x^- (BC- CB')r= O.
La droite qu’elle représente passe en effet par l'origine (n” 18) et par l’intersection des deux droites (n” tO).
II. Trouver l’équation de la droite menée par rinlcrsection de res deux mêmes droites parallèlement à l’axe des x.
Réi>o>se. (BA'- AB’)r-t-(’.V- AC.'= o.
CnAPlTMB 11.
UI. Trouver l'équation do la droite passant par le point d'intcrsertinn de ces deux.mémes droites et par le point
Réponse. Déterminant dans l’équation "énéralc donnée ci-dessus la ronstante X-, de manière que cette équation soit satisfaite par x', r', on trouve pour l'équation cliercbée
(Ax + B/-t-C)(AV-4-B>'-»-C’) = (A'x-)-B’v-4-C’)(Ax'-*-B.)'-t-C).
IV. Tnuyver l'équation de la droite joignant le point (2, 3) à l'intersection des. deux droites ix -i- 3 v -i- 1 = o, 3x — 4 >■ = ü.
1 1 (ix -4- 3 v -H 1) -H i4(3x — 4/ — 5) = O, ou C4x — 23,)' = 5g.
41. Le principe établi au numéro iirécédenl donne, pour reconnaître si trois droites se coupent en un même point, un critérium souvent plus commode dans la pratique que celui du n* 34 :
Trois droites Ax-+- C = o, A'x -I- B' )■ -+- C'= o, A*x -H B"j'-l- C"= O passent par un même point, lorsque la somme de leurs équations multipliées respectivement par une constante est identiquement nulle, c’est-à-dire si la relation suivante, dans laquelle /, m, n représentent trois constantes, est vraie, quels que soient x et v,
Car alors les valeurs des coordonnées qui annulent séparcmenl les deux premiers termes de l’équation annulent aussi le troisième.
KXERCir.ES.
I. I.es trois médianes d’un triangle se coupent en tin mémo point. Leurs équations sont (21), Ex. IV)
+ ixy’-yx’) = O, (y-t-y--2jyx-(y^x’-2x”)r
-4- (xy"-yx") -4- (x*^ 'x") = O.
DE LA LIGNE DROITE
La somme de ces équations est identiquement nulle, les droites qu’elles représentent se coupent donc en un seul point, dont les coordonnées sont
II. Démontrer le même iliéorème en prenant pour axes les deux côtés du triangle dont les longueurs sont a et b.
Réponse . — a
III. Les hauteurs d'un triangle se coupent en un même point. Il en est de mémo des perpendieulaires élevées sur le milieu des côtés.
La somme des érpiations (n° 32, Ex. V, VI ) est identiquement nulle.
IV. Les bis-sectrices des angles d'un triangle se coupent en un même point.
Elles ont, en effet, pour équations,
(xcos* -(-/sina — p) — {xcosp -t-vsin^ — p')= o,
(x cos^ -i- r sinS — p')— {xcosy -i-/ siny — p")= o,
(x cosy ■+■ > sin|î — //) — (xcos* -i-^vsina — p) = o.
*42. Trouver les coordonnées rie V intersection de la droite joi- •rnant les points [x',y’), avec la droite kx C=o.
Le but de ce problème est d’exposer une méthode (que nous aurons souvent occasion d’emplover dans la suite) pour déterminer le point où un lieu donné rencontre la droite joignant deux points donnés. Nous savons (n“ 7) que les coordonnées d'un point de la droite passant par ces points peuvent s’exprimer par les formules
mx
nxé
my
nr'
Nous prendrons pour inconnue le rapport — des segments déterminés par le lieu sur la droite joignant les deux points, et nous en chercherons la valeur en exprimant que les coordonnées ci-dessus satisfont à l’équation du lieu. Ainsi dans le
cas actuel nous aurons
