AN
El si AB = r, la relation AM = / .BN devient
On a exprimé ainsi les ronditions du problème en fonction des coordonnées du jxjint P; toute confusion étant devenue impossible, on («eut remplacer a et ^ par x et.r, et on trouve, en chassant les dénominateurs, pour l'é(|ualion du lieu,
^[e(r — .v') — Jv')]-
II. Deux .sommets du triangle ABC (/ig. xy) glissent sur deux droites
Fie- ■‘‘r
fi.xos LM et LN, tandis que les trois côtés passent |tar trois points fixes O, P, 0i situés en ligne droite; trouver le lieu du troisième sommet.
Prenons pour axe des x la droite OP contenant les trois points fixes, et pour axe desj la ligne 01. joignant l'intersection des deux droites fixes au point 0. Désignons par x, 3 les coordonnées du point C, et toit
OL = b, OM = a, ON = OP = e, OQ = c'.
Les équations de LM cl LN sont évidemment
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PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE. 6l
L’équalion de CP, qui passe par (a, p) el P ou (>■ o, x — c), est (a — c)y — Sx -h Pr = O.
Les coortfonnées de l’inlersection A de celle droite avec X y
seront
nh \x — r) -i- nr P b{ri — c)p
' b[x — c)-i-ap ’ '^'~~b(x — c)-t-(ip
Celles de B s’obtiendront en accentuant les lettres des préccdenles
La condition pour que les deux points (x,, v,) , (x,, r,j se trouvent
sur une droite passant par l'origine est (n°30): it = on aura donc
X, Xj
nb[x — r) + ficp ii'b[x — r') -r- «V'S
Nous avons ainsi déduit des conditions du problème une relation qui doit être satisfaite par les coordonnées a, p, du point C; en y remplaçant a, P, par x, y, nous aurons l'équation du lieu sous la forme ordinaire. Chassant les dénominateurs, on trouve
(a — c) [n'é(x — C*) -t- «Vj] = {«'— c') [«t(x — c) -t- firr],
ce qui revient à
(ac' — a'c)x r
rc'(rt — a') — <in'{c — c') b *’
équation d'une droite passant par le point L.
III. Les points P et Q du problème précédent sont sur une droite passant, non plus par le point O, mais par le point L; trouver le lieu du sommet.
Nous traiterons d'abord le cas où les points P et Q ont une position quelconque. Prenons les droites fixes LM, LN pour axes, et désignons respeclivement par x', j', x*, ,r'; x", a, p, les coordonnées des points P, Q, O, C. La condition que nous avons à exprimer revient à ceci ; les droites CP, CQ, coupant les axes aux points A et B, la droite AB doit passer par le point O.
L’équation de CP est
[p - y’) X — [a — x’]y = px’ - a/'.
6l CHAPITIIR III.
Le segment LA qu’elle détermine sur l'axe des x a pour valeur
LA = ^:^'-“r'p-y
On trouverait de même, pour le segment LB, fait par CQ sur l'axe des jr,
La droite Àfi a pour équation
ou
px‘—
jr{ai — x')
ax'-py-'-
La condition du problème est que cetle équation soit satisfaite par les coordonnées elle sera donc remplie lorscpi'on aura entre « et ^
la relation
x-ip~r') ^ r"(«-x’) ^
px'-dj‘ aj’—px‘
En chassant les dénominateurs, on trouve que rette équation renferme en général les coordonnées a et ^ au deuxième degré. Mais si l'on suppose que les points (x', [x',f') se trouvent sur une mémo droite
y= mx passant par l'origine, on pourra, en observant que/’= nix’, écrire l’équation
(P — a. /Il) x"(an/ — p) .
chassant les dénominateurs, remplaçant x, p par x, y, on trouvera pour le lieu cherché une droite ayant pour équation
x"!’ (y — y') — y"x' [x — x') = x'x* [nix—y).
48. Il est souvent commode, au lieu d’exprimer les conditions du problème directement en fonction des coordonnées du point dont on cherche le lieu, de les exprimer d’abord au moyen des autres lignes de la figure; on peut alors obtenir autant de relations qu’il est nécessaire pour éliminer les indéterminées que l’on a introduites, et arriver en déPinitive à une relation entre les coordonnées de ce point. Les exemples suivants serviront d’éclaircissement.
EXERCKÆS.
I. Trouver le lieu des centres des rectangles inscrits dans un triangle.
raOBLÉilES SUR LA LIGKB DROITE. 63
Prenons CR et AB pour axes [fg. a8). Soit CR = />, BR = .t, AR = s';
Fig. î8.
les équations de AC et BC seront
Menons une parallèle FS à la base, à une distance FK = k de rctte base; nous trouverons les abscis.ses des points F et S, où cette parallèle rencontre AC et BC, en faisant k dans les équations de AC et de BC. Nous tirons ainsi de la première
et de la seconde
Des abscisses de F et S, nous déduisons ( n° 7) celle du point milieu de FS, X = ■ ■■-— évidemment l’abscisse du centre du rec-
tangle; d’ailleurs l’ordonnée de ce centre est^' = Pour trouver la relation qui subsiste entre cette abscisse et cette ordonnée, quel que soit /, nous n’avons qu’à éliminer k entre leurs expressions. En portant, par exemple, la valeur k — -xy, tirée de la seconde, dans la première, nous obtenons
pour l’équation du lieu cherché. Elle représente une droite joignant le milieu de la hauteur au milieu de la base, ainsi qu’il est facile de le voir en examinant les segments qu’elle détermine sur les axes.
