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i ff B

L’équation de PQ joignant P (o, n) à 0('"> *) ^st [b — n) xmy + mn = o.

Celle de P'Q' joignant P’ [a, «) à Q' (»i, o) est /IX— (« — /«) r — 'lin = o.

Il y a deux indéterminées ni et ii, et on ne saurait « priori allirmer la possibilité de les éliminer au moyen do deux équations. Cependant si l’on ajoute les deux équat.ons ci-dessus, m et h disparaissent à la fois, cl on trouve pour l'équation du lieu

bx — aj- — o.

Elle représente la diagonale du parallélogcamme.

PltOBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE. 67

VII. On donne un pninl el deux droites fixes; par le point, on mène deux droites quelconques, et on joint transversalement les points où elles coupent les droites fixes : trouver le lieu du point d'intersection des transversales.

Prenons les droites fixes pour axes; soient

ni n ni n

les équations des droites passant par le point fixe [jr\x ) ■ nous avons alors les conditions

/// n ni n

par suite

\ m m J \ fi fi J

Les équations des transversales sont

d'où

\m tu ) \fi fi J

Éliminant — ^ et - — -, entre cette éq’uation et celle obtenue

ni ni n n

plus haut, il vient

pour l'équation du lieu. C'est celle d'une droite passant par l’origine.

VllI. Par un point de la base d’un triangle, on mène, parallèlement à une droite donnée, une droite de longueur fixe, de manière qu’elle soit coupée par la base dans un rapport donné; trouver le lieu de l'intcrsection des lignes joignant scs extrémités à celles de la base.

49. Toutes les fois qu’un point est assujetti à une condition géométrique déterminée, ses coordonnées doivent satisfaire à une équation correspondante : c’est là l’idée fondamentale de la géométrie analytique. Il est important, pour celui qui en entreprend l’élude, de se pénétrer de cette idée, et de faire tous ses efforts pour arriver à trouver facilement l’équation correspondant à une condition géométrique. Aussi ajouteronsnous ici, comme exercices, quelques problèmes touchant les

CBAPITRB III.

lieux géométrique», et conduisant à des équations d’un degré supérieur au premier. L'interprétation de ces équations sera l’objet d’autres Chapitres ; mais la méthode à employer, la seule chose que nous ayons actuellement en vue, est exactement la même que celle qu’on emploie lorsque le lieu est une ligne droite, et, en réalité, le degré de l’équation du lieu est inconnu jusqu'au moment où l’on arrive à cette équation.

Les exercices suivants ont été choisis de manière à ce que l’on puisse en calquer la solution sur celle des problèmes qui viennent d’être exposés, et en suivant un ordre analogue. Les axes et les notations sont les mêmes dans les exercices correspondants.

EXERCHÆS.

' 1. On donne la base d'un triangle et la somme des carrés des deux autres côtés; trouver le lieu du sommet.

Réponsk. -h r ’ = - m’ — c’ .

II. On donne la base, et m fois le carré d'un côté ± n fois le carré de l’autre.

Répoxse. {m ± /») (j’ -t-2( ;« «)cjr -i- (//i ± n) = p',

'' III. On donne la base et le rapport des côtés.

^ IV. On donne la base et le produit des tangentes des angles à la base, Dans ce problème et les quatre suivants, on se servira des valeurs des tangentes dos angles à la base (n” Ri, Ex. H).

Répoxse. r’ -h m'x' m’r’.

V. On donne la base et l'angle au sommet, ou, en d'autres termes, la somme des angles à la base.

RipoNSB. jr’-t-r* — 2 J-/ cote = c’.