III . AC cos

ÊAP;

en posant AP = «, nous aurons, pour l'équation du lieu,

/«P cos(0 — a) = «;

c'est une ligne droite ( i4), faisant un angle a avec les droites données, et passant à une distance du point A.

III. On donne la base AB = c d'un triangle .\BC, et la somme AC -i- CB = /n des deux autres côtés; à l'extrémité B de la base, on élève la perpendiculaire BP au côté adjacent bC : trouver le lieu du point P où cette perpendiculaire rencontre la bissectrice extérieure CP de l’angle ACB.

Prenons le point B pour pôle (Jîg. 34], et le prolongement BD de la

Désignons par a, b, c, les côlés du triangle opposés aux angles A, B, C, on a

BCP = 9o° — -C, BC = n = ptang-C.

7^ CHAriTIlB III.

Mais, dans le Irianglc ABC, un a

6’=; c — a«ccosB.

Fig. 3(.

Elle représente une droite periicndiculaire a la base du triangle et

passant a une distance du point B.

On trouverait, en suivant la mémo marche, le lieu du point P, dans le

PBOBLfeMES SUR LA LIGKB DROITE. 77

cas où CP sérail la bissectrice inlrrwure, et où on donnerait la différenco au lieu de la somme des côtés.

IV. On donne n droites fixes et un point fixe O ; par ce point, on mène un rayon vecteur qui coupe les droites en r, , r„ r^,. . r,, et on prend sur ce rayon vecteur un point R, tel que

trouver le lieu du point R.

Soient

pcos(0 — a) P cos(9 — &) =/>„...

les équations des droites, il est facile de voir que l'équation du lieu est n cos(9 — *1 ces( 0 — P )

qui représente une ligne droite (41). Ce théorème n’est qu’un cas particulier d’un autre plus général que nous démontrerons par la suite.

Nous ajouterons ici, comme au n” 49, un petit nombre de problèmes conduisant à des équations de degré plus élevé.

V. Soit BP une droite fixe [Jig. 3a) ayant pour équation pcos6 = /«; sur chaque rayon vecteur AQ, on prend une longueur constante PQ =• r/ : trouver le lieu des points Q.

Par hypothèse AP = j donc AQ = p = -t- il.

Cette équation, rapportée è des coordonnées reclangulaire.s, devient (.r — mŸ ( a:’ -t- > ’) = r/’j-’.

VI. Trouver le lieu des points Q, lorsque le point P décrit, non plus une droite BP, mais un lieu ayant pour équation en coordonnées polaires P = ?(0)-

La longueur AP est égale au rayon vecteur p du lieu cherché, diminué de d\ l'équation s’obtiendra donc en remplaçant, dans celle du lieu du point P, p par p — r/ ; on trouvera ainsi

VII. Le point P décrit le lieu p = ^ (9) ; on prolonge AP jusqu’en AQ, de manière que AQ = lAP ; trouver le lieu du point Q.

Il suffit de remplacer, dans l’équation du lieu de P, p par - p pour avoir l’équation cherchée.