CHAPITRE III. — PRORLÊHES SUR LA LIGNE DROITE
VIII. On mène la bissedrice AP' de l'angle PAB, cl, sur celle bissectrice, on prend un point P’ tel que AP' = m.AP; trouver le lieu du point P', lorsque P décrit la droite f>cos9= m.
L'angle PAB étant égal au double de la coordonnée angulaire 9 du lieu,
on a AP = cl. P^'' suite, pour l éqoaiion du lieu,
ff’cos^O —
‘CHAPITRE lY.
APPLICATION DE LA MÉTHODE DES NOTATIONS ABREOÉES A L’EQCATION DE LA LIGNE DROITE.
.')3. Nous avons vu (40) que réquaiion
JTCOS a + )-sin a — /> — /i (x cos -f- > sin ^ ^ = o
est celle d’une droite passant par l'intersection des deux lignes
arcosa+^'sin a — p = o, xcos^ 4- Ksin (3 — p'=. o.
Si, pour abréger, nous représentons
X cos a 4-/sin a — p,
X cos (3 -+- Ksin p — p',
par a, p, nous pourrons exprimer plus simplement le théorème que nous venons de rappeler, et considérer l'équation a — k^ = o comme celle d’une droite passant par l'intersection des deux lignes données par les équations a = o, (3 = o. Nous appellerons a et (3 ces dernières lignes, et (a, p) leur point d’intersection.
Lorsqu’il y aura lieu d’employer des abréviations analogues pour les équations de la forme Ax -f- B r -H C = o, nous nous servirons des lettres romaines, réservant les lettres grecques pour le cas exclusif où les éi|uations sont dé la forme
X cos a-t-r sin a — p = o.
54. Cherchons maintenant la signilicalion du coefficient /r de l’équation a — /, (3 = o. Nous avons vu (34) que a ( c’est-à-dire xcosa -l-ysina — /j) était la distance du point (x,/) à la ligne OA, que nous supposons représentée par a : de même P est la distance du point (x, ^•)à la droite OB représentée
8o CHAPITRE IV.
par 3- l-’énualion
exprime donc que si, d’un point du lieu qu’elle représente, on abaisse des perpendiculaires PA, PB sur leâ droites OA, OB { fl". 35), le rapport de ces perpendiculaires PA : PB est con-
Fij». 35.
stant et égal à k. Ce lieu est une Hgnc droite passant par le point O, et on a
. PA sin POA
' PB sin PüB
En se reportant à la convention faite relativement aux signes (34), on voit que a-hk^ = o représente une droite divisant exlérieurenienl l’angle AOB en deux parties telles,
sin POA , .
que — f.— TJ = h : il est bien entendu, dans ce que nous ve- ^ sin POB ^
nons de dire, que les perpendiculaires PA et PB sont celles
que nous sommes convenu de regarder comme positives;
celles qui tombent sur les directions opposées à a et 3 étant
considérées comme négatives.
EXERCICES
I. Démontrer, en employant ces notations, que les trois bissectrices des angles d’un triangle se cou|>ent en un même point.
Les équations des trois bissectrices du triangle formé par les droites a, P et 7 sont évidemment (35, 5i) : a — p = o, ^ — y = o, y — « = o, et leur somme est identiquement nulle.
II. I.es bissectrices oxtérievires de deux des angles d’un triangle sc rencontrent sur la bissectrice intérieure du troisième angle.
En SC reportant à la convention relative aux signes, on voit que a-l-p = o, a -)-y = O, sont les équations des bissectrices exlérieures ; si on les retranche l'une de l’autre, on trouve ^ — y = o, équation do la bissectrice intérieure du troisième angle.
DE LA LIGNE DROITE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 8l
III. Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point.
Désignons respectivement par A, B, C les angles opposés aux côtés a,
P, 7. La hauteur passant par le sommet A divise l’angle correspondant en deux autres, qui sont respectivement complémentaires des angles B et C : son équation sera donc
a cos.A — 6 cosB = O.
On trouverait do même pour les autres hauteurs :
PcosB — 7 cosC = O, 7 cosC — X cos.A = o.
Ces trois droites se coupent évidemment en un même point.
IV. Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point.
Le rap|)ort des distances du mitieu du côté 7 aux deux autres côtés a et S est sinAlsinB. Les éi[uations des médianes seront donc
a sin A — psinB = o, f sinB — 7SinC = o, 7 sinC — asin A = o.
Leur somme est identiquement nulle.
V. Les longueurs des côtés a, p, 7, 0 d’un quadrilatère sont a, b, r,it; trouver l’équation de la droite joignant les milieux des diagonales.
Cette équation est «a — b^ -t- ry — r/i = o \ en effet, la droite qu'elle représente passe par l’intersection des droites etx — bp et ry — fli, qui, d’après l’Exercice précédent, sont les médianes de la base commune aux deux triangles formés par une diagonale dans le quadrilatère; elle passe aussi par rinterseclion des droites nx — <IS et cy — bp, qui se coupent au milieu de l'autre diagonale.
VI. Trouver l’équation de la per()endiculairc élevée sur la base p d’un triangle, et à son extrémité C.
ItÉPOXSE. 3t-f-7C0sB = O.
VII. Si l’on a deux triangles tels, que les perpendicidaires abaissées des sommets du premier sur les côtés du second se coupent en un même point; réciproquement, les perpendiculaires abaissées des sommets du second sur les côtés du premier se couperont en un même point.
Soient K, p, 7; a', P', y' les côtés des triangles; désignons par {xp) l’angle compris entre «et S; nous aurons respectivement, pour les équations des perpendiculaires abaissées de {x, p) sur 7', de (P, 7) sur x', de (*, 7) sur P',
a cos {py } — pcos{ï7') = o, pcos(7x') — 7 cos(P*') = o,
7C0s(»p')— *cos(7p') = o.
CBAPITRE IV.
On trouvera la condition pour que ces trois droites sc coupent en un même point, en éliminant p entre les deux premières équations et en exprimant que le résultat obtenu ostid entique à la troisième. On aura ainsi
cos{atfi')cos(^V') cos('/a’) = rus(a'P) cos(^'y) cosly'a).
La symétrie de celte équation montre qu’elle exprime aussi la condition pour que les perpendiculaires abaissées des sommets du second triangle sur les côtés opposes du premier se rencontrent en un même point.
.ï5. I-a droite a — h ^ = o fait évidemment, avec la ligne a, le même angle que la droite A a — p = o fait avec jî : ces deux droites sont donc également inclinées sur la bissectrice a — (3 = 0.
EXERCICE
Si, par les sommets d'un triangle, on mène trois droites sc coupant en un même point, les trois droites menées par ces sommets et faisant avec les bissectrices des angles correspondants, les mêmes angles que les premières se couperont aussi en un même [Kiinl.
Les c<Més du triangle étant a, p, y, les l'ujuations des trois premières droites seront
Ix — ;«S = o, iiip — ii’i — o, «y — /a = o;
car ces droites se coupent en un point (40) et passent respectivement par les points {x,p), (^, y), ('/, »)• Les é<|uations des trois autres droites seront, d'après ce que nous venons de dire plus haut,
m III
ce qui (40) démontre le théorème.
56. Lorsqu' un faisceau de quatre droites 0.\, OP, OP', OB, issues du même point est coupé par une transversale aux quatre
points A, P, P', B, le rapport ^p. (que l’on appelle rapport
anharmonique du faisceau) est constant, quelle que soit la transversale.
En effet, soit p la distance du point O à la transversale
DE LA LIGNE DEOITB. NOTATIONS ADR£gÉES. 83
{f‘S- O" »ura les égalités
/i.AP =OA.OP sin AOP, ;a.P'B = OB.OP'.sin BOP', ;>.AP'=OA.OP'sin AOP', />.PB =OB.OP sinBOP, puisque, dans chacune d elles, les deux termes expriment le
Fig. 36.
double de la même aire. On en déduit
;>-.AP .P'B = OA.OP.OB.OP'sinAOP sinBOP', /j’.AP'.PB =O V.OP.OB.OP'siiiAOP'. sinBOP,
AP. P'B sin AOP. sin BOP'
AP . PB sin .VOI". sin BOp"
Ce dernier rapport est constant et indépendant de la position de la transversale.
