V. Prouver que xcosA ^cosB -+■ ycosC est pcr(>endicutairc à

asin A cos A siii (B — C ) -t- f sin B cos B sin (C — A)-i- ysinC cos Csin (A — B) .

VI. Trouver l'équation de la droite menée par le point {*', y') per-

pendiculairement à la droite y.

Réponse. *(&'-*- y 'cos .A) — S(i’-t-y'cosBi -i-y (6'cosB — ï'cosA) = o.

62. Nous avons vu qu'en prenant trois droites quelconques, a, P et y, nous pourrions toujours mettre l’équation d'une quatrième droite sous la forme

/a H- ni P H- «y = o,

et résoudre des problèmes, par une série d’équations en a, P, y, sans faire aucune mention directe de jc et de/. Nous pouvons maintenant envisager à un autre point de vue le principe exposé au n" 00, et au lieu de considérer a simplement comme abréviation de la quantité a: cos a -t-rsin a — p, le regarder comme exprimant la distance d’un point à une droite a. Nous nous trouvons ainsi conduits à imaginer un système de coor- Jonnées frilinénires dans lequel la position d’un point est définie par ses distances à trois droites fixes (qu’on appelle lignes de rt^férence), et la position d’une droite par une équation homogène entre les distances de ses points aux lignes de référence, équation de la forme

Ix + + ny = o.

Dans les coordonnées cartésiennes (coordonnées ordinaires en X et /), la plus grande simplification à laquelle on puisse arriver consiste à choisir pour axes deux des lignes les plus remarquables de la figure : dans les coordonnées Irilinéaires, et c’est là leur avantage, on peut espérer une simplification plus grande, puisqu’on peut prendre trois des lignes de la question pour lignes de référence a, [3, y. Pour se convaincre de ce qui précède, il suffit de comparer les expressions données au n“ I>1 à celles qui leur correspondent dans le (Chapitre II.

63. Les distances d’un point O aux droites de référence x, (3, y sont liées entre elles par la relation

ax + b^-h cy ; ; M,

dans laquelle a, b, c, sont les longueurs des côlés , et M le double de l'aire du triangle ABC de référence. Cela est évident, puisque aa, b^, cy expriment respectivement le double de l'aire des triangles OBC, OCA, OAB. Celle relation subsiste toujours, que le point O soit ou non dans l'intérieur du triangle ABC : rappelons-nous, en effet, que, lorsque le point ne se trouve pas d'un même côlé d'une des lignes (a) de référence que des autres, sa distance à cette ligne doit recevoir le signe — : la quantité «a -i- 6(3 -f- cy devient alors le double de OCA -I- OAB — OBC, c'est-à-dire reste encore le double de l'aire du triangle.

Puisque sinA, sinB, sinC sont proportionnels à n, b, c, la quantité

a sin A -H (3 sin B -4- ■/ sin C

est aussi constante : ce que d'ailleurs on peut démontrer autrement. En effet, celle quantité est égale à

«sin(^— ■/) -H (3 sin (•/ — a) -t- '/sin (a — |3),

cl en remplaçant dans celle expression a, l3, y par leurs équivalents en X et )•, on voit que les termes en x et y s'évanouissent.

Le ibéorème que nous venons de démontrer permet d'employer toujours des équations homogènes en a, (3 et y ; ainsi par exemple l'équation a = 3 peut se mettre sous la forme homogène

6i. Trouver en coordonnées trilinéaires l'équation d'une parallèle à la droite /a H- ni3 -f- ny.

En coordonnées cartésiennes, deux droites, \x-+- B > -t- C, A a: -I- B >' -I- C', sont parallèles lorsque leurs équations ne diffèrent que par une constante. L’équation

/a -I- -4- ny -4- /r (a sin A -4- ^sin B -i- y sinCj = o

représente donc une parallèle à la droite /a -t- «i |3 -4- n y = o,

CHAPITBE IV.

I)uisc|n’elle ne diffère de l'équation de ccUe droite que par une <|iiantitc que nous venons de démontrer ronstante.

La droite Ax -i- B>- -H C -(- ( Aæ: -4- B>- C')= o est aussi parallèle aux deux droites Ax -i- B> -l- C=o, Ax-t- B r-t-C'=o; elle est de plus à épale distance de chacune d'elles. Si donc deux équations P = o, P'= o, sont telles que P — P'= const., l'é(|uation P + P' = o représente une parallèle à P et P', passant à égale distance de ces droites.

I. Trouver l'équation de la parallèle menée à la base 7 d'un triangle par le sommet C.

HÉ(*onse. a sin A -h ^ sin b = o.

Cette droite passe en eiïet par a, et son équation, qui peut s'écrire y.sinC — (asin A -(- 6sinB 7 sinC) = o,

ne dilTèro de 7 = 0 que par une constante.

Nous voyons ainsi que celte parallèle asin A -+- f sinB et la médiane de la base asin.X— ^sinB forment, avec « et un faisceau harmonique (r>7).

II. La droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Eu effet, son écpialion est (60, Ex. 11),

asin.X -f- fisinC — 7sinC = o, ou 27SinC= asin.X -1- fsinB -+-7sinC.

III. Li droite na — //*( -t- ry — r/'î (5i, Ex. X') passe par le milieu de

la ligne joignant (a, 7). (f. S). En effet, la (piantité (na -1-07) •+■ (é^ -+ r/3) est constante comme étant le double de l’aire du quadrilatère ; donc les droites «a h- 07 et sont parallèles, il en est de même de

(na -P C7) -t- (èS -t- tlù) qui passe à égale distance des deux premières. Cette dernière droite divise donc en deux parties égales la droite joignant les points (a, 7) et 0) pris resiiectivcment sur la première et sur la seconde droite.

G.’). Écrire sons la forme ht. + + ny ■= o l'équalion de

la droi/e joij^nanl les deux points (x jf), (x", f).

Désignons toujours par a, les quantités

x' cos X -+-r' sin a.' — p, - ■ ■ .

DE LA LIGXE DROITE. COTATIONS ABRÉGÉES. ()3

La condilion pour que les roordoniiées x', y salisf.isscni .i l'équalion

la -¥ ny = O

pourra s’écrire

la' + mp' + n y' = o,

et on aura de même

la" + ny"= O.

/ ni

Tirant de ces deux équations les valeurs du rapnorl-) — » et

les portant dans l’équation primitive, on obtient pour l’équation de la droite joignant les deux points

c(P'y"-y'P") + p(y’0L"-fa') + y(a'P"-a"p-) = o.

On doit observer que les équations en coordonnées irilinéaires étant homogènes, il n’y a pas lieu de considérer les distances absolues d’un point aux lignes de référence, mais seulement leurs rapports. Ainsi l’équation précédente ne sera pas altérée si l’on y remplace a', P', y , par oa', p^', p-/. Si donc

un point est donné comme intersection des droites t = — = -»

on peut prendre /, m et n comme ses coordonnées trilinéaires. Car si nous désignons par p la valeur de ces fractions, les distances du point aux lignes de référence seront /p, nip, no, p étant donné par l’équation nlp b/np -4- rnp = M; mais, ainsi que nous l'avons fait voir, nous n'avons pas besoin de déterminer p. Partant de là, nous pouvons prendre pour les coordonnées de l’intersection des médianes du triangle ABC : siii B sin C, sin C sin A, sin A sin B; pour celles des hauteurs : cosBcosC, cosCcosA, cosAcosB; pour celles du centre du cercle inscrit ; i, i, i ; pour celles du cercle circonscrit : cos A, cos B, cosC, etc.

EXERCICES

I. Trouver l’équalion do la droite joignant l'intersection dos hauteurs à celle des médianes.

Réponse.

stsinAcosA sin(B— C) -+- ^sinBcosBs:n(C — A)

-t- y sinCcosCsin(A — B) = o.