CHAPITRE IV

carlésiennes sont homogènes en réalité, bien qu’elles ne le soient pas dans la forme. L’équation j:=3, par exemple, sigiiine que la ligne x est égale à 3 mètres, 3 décimètres, ou à trois fois une unité linéaire quelconque; l'équation = 9 exprime que le rectangle xy est égal à 9 mètres carrés, 9 décimètres carrés, ou à neuf fois le carré fait sur une certaine unité linéaire, et ainsi des autres.

Pour que nos équations deviennent homogènes dans la forme, comme elles le sont au fond, nous n’avons qu'à représenter par Z Punité linéaire, et écrire l’équation de la droite

Kx -I- B »- -I- C2 = O.

En la comparant avec l’autre équation

A or -f- B P -H C y o,

et nous rappelant (07) que, lorsqu’une ligne est à rinllni, son équation prend la forme s = o, nous voyons que lez équations en coordonnées cartésiennes ne sont que la forme particulière prise par les équations en coordonnées trilinéaires , lorsque deux des lignes de référence devenant axes de coordonnées, la troisième ligne de référence s’éloigne à l'infini.

70. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur les systèmes de coordonnées langentielles. Dans un pareil système, la position d’une droite est définie par des coordonnées, et celle d’un point par une équation ; toutefois, dans cet ouvrage, nous le considérerons moins comme un nouveau système de coordonnées, que comme une nouvelle manière d’interpréter les équations. L’équation d'une droite (en coordonnées trilinéaires ou cartésiennes) étant

Ix -+- py -i- vz z=o,

la position de celte droite sera déterminée lorsque l'on connaîtra les quantités p, v : nous pouvons dès lors appeler ces trois quantités (ou plutôt leurs rapports qui sont seuls à considérer) les coor</ow/j<?ci tangentielles delà ligne droite. Lorsque cette droite passe par un point fixe ( .r', z'), on a

DE LA LIGNE DROITE. NUTATIONS ABRÉgEES. 97

In relation = o; si donc on se donne une

équation de la forme tû. -t- tu -4- cv = o , entre les coordonnées X, ft et V d’une droite, elle exprime que cette droite passe parle point fixe(rt, b, c)(.")l), et peut s’appeler l’équation de ce point.

Nous pouvons employer des abréviations pour les é(|iiations de points, et représenter par a, les quantités x'Â -4- y u -h z' y , x“ }. -t- y a -4- z" V ; alors /a -H ni j3 = O est l’équation du point divisant dans un rapport donné la droite qui joint les points (a, ^); lx = ni^, = n-/ = lx sont les équations de

trois points en ligne droite; x -4- x — hp , représentent deux points qui forment avec [x, ,3) un système harmonique.

Au reste, nous développerons ces analogies plus liÿn, et nous aurons alors occasion de montrer que les théorèmes respectivement relatifs aux points et aux droites ont une corrélation telle, que, les uns étant donnés, on peut en déduire les autres, et que souvent on peut les démonirer les uns et les autres, en interprétant diversement les mêmes é(|uations. Les théorèmes auxquels nous venons de faire allusion s'appellent théori’nies réciproques.

EXERCICE

Interpréter en coordonnées tangentielles les équations cm[iloyées (GO, Ex. 11).

Soient x, y les équations des points .\, B, C; /«S — «y, «y — /z, /x — iup, celles des points L, M, N; on voit que mp -4- ny — Ix, «y -4- Ix — III P, Ix -4- mp — «y rcpré*sent( nt les s( inmels du triangle fornié par LA , MB. NC : tx -t- mp -4- iiy délinit le point O où concourent les droites joignant les sommets de ce triangle aux sommets du triangle primitif : mp -4- ny, ny -4- Ix, Ix -4- mp représentent D, E, h'.

Il est des lors facile do voir les jxiints de la ligure ipii foru.ent des divisions liarmoniques.