CHAPITRE V

DES ÉQUATIONS D UN DEGRÉ SUPÉRIEUR AU PREMIER REPRÉSENXVNT DES LIGNES DROITES.

71. Avant de nous occuper des courbes représentées par des équations d'un degré supérieur au premier, nous allons examiner quelques cas où ces équations représentent des lignes droites.

Si Ton fait le produit d’un nombre quelconque d'équations L=o, M=o, N=o, on obtient une équation composée LMN... =o, qui représente l’ensemble de toutes les lignes correspondantes à chacun de ses facteurs, puisqu’elle est satisfaite par les valeurs des coordonnées qui annulent séparément chacun d’eux. Réciproquement : Si une équation d'un degré quelconque peut se décomposer en plusieurs équations de degré moindre, elle représente l'ensemble de tous les lieux correspondant à ces dernières équations.

Ainsi lorsqu’une équation du degré peut se décomposer en n facteurs du premier degré, elle représente n droites.

72. Une équation homogène du n'*“ degré entre les variables représente n droites passant par l'origine.

Soit l'équation

X" — px'-'y-h q.T"-\r'— . . . tr"=o;

en la divisant par r*. Ü vient

(f)'-Kr'-(r’—

Si a, b, c,..., sont les n racines de cette équation, on peut récrire

DES fiQUATIOSS REPRÊSEMTANT DES LIGNES DROITES.

et l'équation primitive se met sous la forme

( X - rt r) ( — f>x) — ‘T) . • • = O.

On voit ainsi qu’elle représente n droites, x — ar = o,. . , passant toutes par l'origine. En particulier, l’équation homogène

X’ — pxx + ÎJ** = O

représente les deux droites x — a^- = o : a et 6 étant les racines de l'équation du deuxième degré

On prouverait de la même manière que l’équation (x — a)" — y>(x— a)"~' (t' — è) -+- ç (x— a)"-’ {y — 6)’-f- . . .

représente n droites passant par le point (a, b),

EXERaCES.