CHAPITRE V

OU

pluiûi (le ~ ^ T'

de celle dernière sonl réelles ei inégales, ou bien imaginaires.

Le premier cas ne présenle aucune difncullé : n cl è sonl les langenles des angles que les droiles fonl avec l’axe des »- (les axes élanl 'su|)posés reciangulaires) ; p esl la somme de ces langenles, el q esl leur produit.

Dans le second cas , a = b: on dit habiluellcmeiu que l’équalion ne représente plus qu’une droite {x — ay = o); mais alors le fait géométrique ne correspond pas à l'expression algébrique, cl il y a avantage à faire disparaître ce désaccord. Nous regarderons donc, dans ce cas, l’équalion comme représentant deux droiles qui coïncident, el non pas une seule droite, de même que nous disons que l’équalion a deux racines égales, et non pas (|u’elle n’a qu’M/ie seule racine.

Dans le troisième cas, les racines sonl toutes les deux imaginaires, el on ne peut satisfaire à l’équation par aucunes coordonnées réelles autres que celles de l’origine x = o, )•= o : aussi dit-on habilucllemenl que l’équation ne représente plus un système de lignes droiles, mais bien l’origine. Celle manière de s’exprimer soulève plusieurs objections, elle suppose, en effet, que, dans certains cas, une seule équation peut représenter un point; el cependant nous avons vu (n° 14-) qu’il faut deux équations pour déterminer un point. Elle suppose, en outre, qu’une quantité innombrable d’équations peuvent être regardées comme celles d’un même point; car du moment où /)’ esl inférieur à \q, les racines sonl imaginaires, indépendamment des valeurs particulières de p el de q : el nous avons toujours considéré les équations différentes comme n’ayant pas la même signification géométrique. Nous trouverons donc préférable de calquer le langage de la géométrie sur celui de l’algèbre, en disant que l’équation représente deux droiles imaginaires, el non pas qu’elle ne représente aucune droite, de même que, dans ce cas, où p' est inféiieur à 4?, nous disons que ré(]uaiion a deux racines imaginaires, el non pas qu’elle n’a point de racines.

En résumé, l’équation x' — pxy -i- qy' — o pouvant, dans

DES ÉQUATIONS HEPBÉSKSTAST DES LIGNES DROITES. lOI

tous les cas, se meure sous la forme (ar — fty){x — hy) — o, représente toujours, quels que soient n et b, deux droites passant par l'origine. Si rt et 6 sont réels, les deux droites sont réelles; lorsque n est égal à b, les deux droites coïncident, enfin quand a et b sont imaginaires, les deux droites sont imaginaires. Il peut paraître, de prime abord, indifférent d'adopter telle ou telle manière de s’exprimer; mais nous verrons parla suite à combien d'analogies importantes peuvent conduire les principes que nous venons d’indiquer.

])e semblables remarques s'appliquent à l'équation

puisqu'on peut la ramener à la forme x' — pxy + qr' = o, en divisant tous ses termes parle coefficient de x’. Elle représente donc toujours deux droites passant par l'origine; ces droites sont réelles lorsque B’ — 4 fsl positif, coïncident lorsque B’ — 4 AC est nul, enfin deviennent imaginaires lorsque B’ — 4 AC est négatif.

Nous interpréterons, de la même manière que ci-dessus, les racines égales ou imaginaires qui pourront se rencontrer dans l’équation homogène du n"" degré.

74. Trouver l'angle compris entre les droites représentées par l’équation x' — qy^ = o-

I/équation équivalenie étant (x — ni )(x— /i)-) =0, la tangente de l'angle 9, compris entre les deux droites, aura pour expression (25)

tangç =

-Jb ab '

mais, d'après la théorie des équations, donc

ab=q, a — b — \jp' — 4?-

tang9

Si l’équation avait été donnée sous la forme Ax’ -+- Bx)- -H Cl ’ = O,

CnAPITRE V.

on aurait trouve.

tang9 =