V B’ — 4 AC

Co/o//u/re.— Lesdroites sont perpcndiculaireslursque tang tp devient infini, c'est-à-dire lorsque ^ = — i, ou A-»-C = o, suivant que l’on considère la première ou la deuxième forme d’équation.

Quand les axes sont obliques, l’angle des deux droites est defini par la relation

tang 9 =

sin II) y B' — 4 AC A + C — B cos (,>

EXERCICE

Trouver l’angle compris entre les droites

-h J y — ü )■’ «= O, x’ — ix vsécO -t-> ’ = O.

Répo.n.se. ÿ = 45", .»■ = 8.

75. Trouver l’équation des bissectrices des angles que forment les droites représentées par l'équation

Ajt’-i- -+■ Cj’= O.

Soientx — fy* = o,x — by—o, les deux droites; x — py=o, l’équation d’une bissectrice. Pour déterminer p, remarquons (18) que f/ est la tangente de l’angle fait par la bissectrice avec l’axe des y, et que cet angle est égal à la demi-somme des angles faits par les droites avec cet axe : nous avons donc

I — u’ I — ab ’

mais, d’après la théorie des équations,

par suite

DES équations BEPRÉSENTANT DBS LIGNES DROITES. lo3

fJi' — 2 — g — U — I O.

Nous avons ainsi, pour délerminer fx, une équation du deuxième degré : une des racines sera la tangente de l’angle fait avec l’axe des y par la bissectrice intérieure des deux droites; l'autre, la tangente de l’angle fait par la bissectrice extérieure avec ce même axe. En remplaçant dans la der-

nière équation a par sa valeur—» nous trouverons, pour l’équation composée des deux bissectrices,

j:-— 2— g— jy- — x’=o (♦).

Elle montre (7i) que ces bissectrices se coupent à angle droit.

On pourrait arriver au même résultat en posant (35) les équations des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle formé par les droites x — ay = o,x — by = o, les multipliant l’une par l’autre, chassant les dénominateurs et remplaçant a+b, ab parleurs valeurs en fonction des coefficients A, B et C.

76. Nous avons vu que l’équation du second degré peut représenter deux droites, autrement dit, se décomposer en deux facteurs du premier degré; pour qu’il en soit ainsi, il faut que ses coefficients satisfassent à une condition que nous allons déterminer.

(*) Les racines de cette équation sont toujours réelles, même lorsque celles de l’equalion primitive Ax'-f- Rxr -f- *= o sont imaginaires. Ainsi : « Les bissectrices des angles formes par un système de deux droites imaginaires sont réelles. * C’est dans l’existence de pareilles relations, entre des lignes réelles et des lignes imaginaires, que l’emploi do ces dernières puise quelque utilité.