IV. Déterminer //, de telle façon que l'équation

x’-(- u//.rr-t-r’ — 5x — ~x -y- 6 = O représente deux droites.

Réponse. Remplaçant les coefficients de I équation générale par les valeurs qui leur correspondent dans l'équation donnée, on troiue, pour déterminer /i, l’équation du second degré ii/d — 35/i -t- a5 = o, dont

1 ,5,5 les racines sont 5 et -•

* 77. La méthode exposée au numéro précédent, Irèssimple lorsqu’il s’agit d’une équation du second degré, n'est pas applicable aux équations du degré supérieur : aussi donnerons-nous une autre solution du |)roblème , en cbercbani dans quelles conditions on peut identifier une équation du second degré avec le produit des équations de deux droites

{xx ■+- — i)(a'x -t- — 1) = o.

Pour cela, il suffit d’effectuer le produit indiqué et d’égaler le coefficient de chaque terme à celui du terme correspondant <le l’équation générale du deuxième degré, apres avoir préalablement divisé cette dernière par c, de manière à rendre le terme absolu égal à l’unité. On obtient ainsi cinq équations : quatre d’entre elles servent à déterminer les valeurs des inconnues X, x', (3, [3', en fonction des coefficients de l’équation générale; la condition cherchée se trouve alors en exprimant que ces valeurs satisfont à la cinquième.

I06 CDAPITKE V.

Ces cinq équations sont

ax

Des quatre premières, on déduit sans peine, pour déterminer a, (3, (3', deux équations du deuxième degré qu’on peut aussi trouver en observant que les valeurs de a, a, (3, sont les réciproques des segments déterminés par les droites sur les axes. Ces segments s’obtiennent en faisant alternativement j: = o, j=odans l’équation générale, et sont ainsi donnés par

ax'-{- -{■ c=o, by^ xfy + c = O.

Si le lieu rencontre les axes aux points L, L', M, M', et s'il se compose de lignes droites, son équation peut aussi bien représenter les deux droites LM, L'M' que les deux droites LM', L'M, et doit par conséquent s’identifier avec l’une ou l’autre des équations

( atx -I- (3/ — I ) ( XX + ^’y — i ) = o,

( XX + <p'y— I ) ( a'x H- ;3/ — 1 ) = O.

Si l’on effectue les multiplications, on voit que — doit avoir,

non-seulement la valeur x^' -t- |3a' donnée plus haut, mais bien encore celle-ci a, 3 -+- x'p'. On a ainsi, pour la somme de ces deux quantités,

«(3 -t- a' -t- «;3' -I- Pa' = ( St -t- a’ ) ( ^ -I- ;3' ) = ^, et pour leur produit

(st|3 -t- a' ;3' ) ( a’j3 -H st;3' ) = aa' ( ;3’ 4- i3’’ ) -4- ;3,3' ( a> -h a”)

n — xhv b ^ g'— X ne

Les valeurs de ^ sont donc données par l’équation du deuxième