I. Trouver les points où les axes sont coupés par
)•’ — Sx — yr-+- Cl = o.
Réi’oxsE. ■*■ = 5, ,r — 2; )- = (>, r=i.
II. Quelle est l'équation du cercle tangent aux axes à une distance « de l’origine?
Réi>onse. .c’ 1- >■’ — 'xitx — 1/1 y -h /i’ = o.
III. Trouver l’équation d’un cercle en prenant pour axes une tangente et une droite passant par le point do contact.
Réponse. Dans ce cas, /, i' et p sont nuis; il est d’ailleurs facile de voir sur une figure que ;/ = ar.sinoi.
L’éipiation cliorchée est donc .r’ -1- a.rp cos'.i -f-.» ’— 2r> sinw = o.
8."). Tronyer l’éqiutlioii de la tangente en un point [x',y'), d’un cercle donné.
Puisque la tangente à une courbe (83) peut être considérée comme une droite joignant deux points infiniment voisins de cette courbe, nous pourrons déduire son équation de celle de la corde passant par deux points quelconques (x", )•"),
de la courbe, en y faisant x' ==x", y = jr".
Supposons d’abord que le cercle ait son centre à l'origine, son équation sera
L’équation de la droite passant par les deux points (x', >•' ), (x',j"), est (29)
Si on y fait x'= x", y=: y", le second membre de l'équation devient indéterminé; cela tient à ce que nous n'avons pas encore exprimé que les points (x', /'), (x", y") se trouvent sur le cercle : en introduisant cette condition, on fait disparaître l’indétermination, car on a
et
CIIAI'ITRE VI.
|).ir suite
L’éf|uaiion «le In ronle est alors
et en v faisant .i' = .r". )■'=>•", on aura pour ré(|untion de la tangente
i|ui devient, toutes réduciions faiii's,
xx' ■+■ yy'- ' r .
Ün peut encore arriver ii cette é()uation de la manière suivante ( ' ) :
L’equation
représente la corde joignant les doux points (.r'. r'), (x", v' ) d’un cercle. En effet, elle représente une ligne droite, puisque les termes en x* et r’ disparaissent après le développement ; d’ailleurs, si on y fait x = x', r = r', le premier membre s’évanouit, et il en est de même du second, attendu que (x', r') est un point du cercle ; cette droite passe donc par un point (x',y') du cercle; on verrait de même qu’elle passe par un autre point En faisant x‘ — x",y'=y" dans
cette équation, on obtient pour celle de la tangente
(jui se ramène, comme plus haut, à la foi ine
xx' -t- yy' — i; •
(*) Cette incthoüe ei»t due à M. Riniiside
oi: CKHCI.B. C17
Si l’on veut rapporter les équations ei-dessus à une autre origine, de telle sorte que a et ,3 deviennent les coordonnées du centre, ilsuffitd’j remplacer ( n”8) .r, a:', respective-
ment par a- — x , x' — x, y — v' — 3 ; on trouve ainsi, pour l'éqiration du cercle,
et pour celle de la tangente,
équation qu’il est facile de se rap|)cler en raison de son analogie avec celle du cercle.
Corollaire. — La tangente xx’ -h rt’— r* est perpendiculaire au rayon x'^’ — ^•'x — ; o aboutissant au point île contact (32).
86. La méthode que nous avons indiquée en dernier lii u peut s’appliquer à l’équation générale (*)
rt.r’ -I- 2 hxy ■+- by^ -1- a gx -t- ■»/»■ -f- <• = o, et l’équation
«{x-x')(x-x")-t-2A{x-x')(j-..'')-t-fi(.)-r')(r-.r") = «x’-l- xltxyy- b y’-+- 2gx -+- ^fy+ c
représente la corde passant par les deux points (x', >’' ), ( x", y" ) de la courbe, puisqu’elle est du premier degré, et qu'elle est satisfaite par les coordonnées x', y', x", 1" de ces deux points. En y faisant x* =x', y"=y', on trouve pour l’équation de
(*) I,un>que cette ét|uatiün représente un cercie, il est bien entendu que b a, h rt coR&i ; mais, puisque la méthode est ['encrale et indépendante des valeurs partinilières de 0 ou de /f, nous aimons mieux ohttmir immédiatement les rornitiles generales dont nous aurons besoin plus tard dans la discussion de Tequation générait* du deuxième degré.
la tangente
