CHAPITRE VI

Nous voyons donc que, quelles que soient les inngentes menées p:ir(r', y), réelles ou imnginaires, la droite qui joint leurs points de contact sera la droite réelle xx'-+-rr'= c’. que nous appellerons la polaire de jiar rapport au cercle,

t^ette polaire est évidemment perpendiculaire à la droite x'r — .r'.*' = O Joignant le point [x', r') au centre, et passe à r’

une distance - —

Vx'’ -I- y”

de ce centre (23). On peut donc

construire la pofaire d'un point P, en joignant ce point au centre C, prenant sur PC un point M tel (|ue CM .CP= et élevant à PC une perpendiculaire en M.

L’équation de la polaire est de même forme que celle de la tangente; elle n’en diffère que parce que le point (x',r'), dont elle renferme les coordonnées, n’est pas nécessairement sur le cercle; dans le cas où ce point s’y trouverait, elle serait alors identique à l’équation de la tangente : la polaire d’un point du cercle est donc la tangente menée au cercle en ce point.

Le point (x',y') s’appelle le pôle de la droite

xx'+ >7'’= /•’.

89. Trouver l 'équation Je la polaire Je ( x', y' ) par rapport à la courbe

ax’ -h 7. Il XV b y^ 2 ^ x + 7.fy -h c = o.

Nous avons vu (86) (|ue l’équation de la tangente est

rtx'x + A(x'^- H-r'x)+ ù/r'-l- g-(x'-f-x )-»-/{ -t- r)4-f = o.

et elle exprime une relation entre les coordonnées x, jr d'un point de la tangente et les coordonnées x', »•’ du point de

et rî'>us aurons IVqiiation triin lieu Joui rinU'rsectioii, av«*c In courbe Jonm^, nous fournira les points de contact. Si, par exemple, IVqualion xx'*-»- rr'*=s r* représente la bin|;cntc à une courbe nu point les points de contact

des taiiQciiles mences par un point (x', r') se trouveront sur l.i conrlic x'x* -f S* = r*. O nVst <jiic dans le cas tles courbes du deuxième depré que roqnulioti qui détermine le» points de contact est de même forme que ct*lb‘ de la tanpente.

DU CERCLE

contact. Pour montrer que les coordonnées du premier point sont connues, nous leur donnerons un accent, et nous supprimerons l’accent des coordonnées du dernier pour indiquer que ce sont celles qu'il faut trouver, ce qui ne change rien à l'équalion, puisqu'elle eslsymétrique par rapport à x, r, x' ,y‘ . Celle équation, qui, lorsque {x' ,y'' ) est sur la courbe, est celle de la tangente en ce point, représente, quand le point {x’.y') n’est plus sur la courbe, la droite sur laquelle doivent se trouver les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires menées par (x',y') : elle est alors l'équation de la polaire. Si l’on y remplace x, y par x\ y', on obtient le même résultat qu’en substituant x' , y' à x, y dans l’équation de la courbe : ce résultat ne peut donc être nul que si(ar', r') se trouve sur la courbe. Donc la polaire d’un point ne passe par ce point que s’il est situé sur la courbe, à laquelle elle est alors tangente.

Corollaire. — La polaire de Vorigiiie est gx + fy + c — o.

EXERCICES

I. Trouver la |K>lairc de (4, 4) par rapport à (x — 2)’ =■ i3.

Réponse. 3x h- 2 j = 20.

II. Trouver la polaire de (4, 5) par rapport à x’-i-y’ — 3.r — 4 y = 8.

Réponse. Sx -h C» = 48.

III. Trouver le pôle de A.r -r B,t -t- C = o par rapport à j’-t- r’ = /•’.

Réponse. Le point se trouve facilement en comparant l'équation donnée

— c~’ — ît)’