I -t- ni ’ I -y ni
En substituant ces valeurs dans l’équation du cercle x’ — /•’ = O,
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Di; CERCLE. 1^3
on trouve, après réduction faite, pour dcierniiner le rapport ■^1 l’équation du deuxième degré
r^) -h xlm[x'x"-hy’y" - r']
+ ni’ (x'’ + >•'’ — r’ ) = O,
la connaissance du rapport / : ni entraîne celle des coordonnées des points où la droitt- rencontre le cercle. La 'syniétrie de cette équation rend queltiuefois cette méthode (dus commode que celle indiquée au n” 82.
Lorsque le point(x", >-")se trouve sur la polaire de (x', j'),
ri‘qualion précédente se décompose alors en deux facteurs I -I- uni, l — juni, et la droite passant par (x', et (x*, y” ) est coupée intérieurement et extérieurement dans le même ra|)port, d’où ce théorème connu : une droite menée par un point est divisée harmoniquement pur ce point, le cercle et la polaire du point.
*92. Trouver l’équation des tan fientes menées par un point à un cercle donné.
Nous avons déjà (87) obtenu les coordonnées des [loints de contact; en substituant leurs valeurs dans l’équation xx'-t- r/*= C, nous trouverons pour l’équation d’une tangente
r{xx'+ ry' — x'’ — >•’’) -t- (xy — yx') y/x'’-+- v'' — r'~- o, et pour celle de l’autre
r[xx' —yy'— xé^—y'^) — (xj' — >-x’ ) j''— r’=o.
En multipliant ces équations l’une par l'autre, nous aurons l’équation des tangentes qui ne contient pas de radical. Mais les résultats obtenus au numéro précédent nous permettent d’arriver plus simplement au résultat; en effet, l'équation qui
124 CHAPITRE Tl.
(Ji-iprmine le rupporl aura des racines égales lorsciiie la droite
passant par(x', r'), (x",-y’} sera tangente au cercle : si donc (x", >•") estl’un ou raiilre des points de contact des tangentes menées par (x', ses coordonnées devront satisfaire à la relation
— c’)(x’+ r’ — c’j =: (.rx' -h xx' — r’)’.
qui est ainsi l’équation des tangentes menées par (x', r'}, et il n'esl pas difncile de prouver qu’elle est identique à celle qu’on obtient par la première méthode.
Les méthodes indiipiées dans ée numéro et le précédent s’appliquent également à l’équation générale, et l’on a alors, pour déterminer le rapport l'.m, l’équation du deuxième degré
/' (c/x">-+- y.hx’y” -yhy"^-+- î/r’e)
+ a /ru [rt.r'x"-4- /( (x-'^-" -+- j-'x")
■+■ m'‘{nx'’-h a hx' y' 4- />>•'* -i- ag'x'-t- s fy' ■+ c) — o,
et de celte équation résulte, comme ci-dessus, que, lorsque {x", y") se trouve sur la polaire de {x',y'), la droite joignant ces points est divisée harmoniquement, et que l’équation des tangentes menées par (x',t-') est
( rt x'’ -+- 2 /< x'y’ -+- />/'= ■+■ 2 gx' -t- ■+■ c; )
X (rtx’-t- a /ixy -(- b y’ -h igx ■+- xfy c)
= [dx'x -y /t{x'y -y }■' x) byy + g{x + x') -yj\y +y'j-yr]'.
93. Trouver l' équation du cercle passant par trois points donnés.
Il suffit de substituer successivement, dans l’équation générale
x’ -4- )•’ 4- igx -y 1 fy 4- c = O,
les coordonnées de chacun «les trois points, pour trouver trois éciualions qui déterminent les inconnues/^,/', c. On peut
Dt CERCLE.
aussi obtenir l’éqiialion cherchée en déterminant les coordonnées du centre et le rayon, comme au n® S, Ex. W
EXERCICES
I. Trouver l'équation du rcrcle passant par les points (2, 3), ( 4, à).
Rétosse. ^ ~ 5) ~ 1^*- ' •)
H. Trouver l'équation du cercle passant par l'origine, (2, 3) et (3, 4). On a
c = O, I 3 -I- 4n — "> — Gÿ' -e 8/-= O,
d'où l'on tire
t-a = — -i3, a/=^ II.
III. Prenant les mêmes axes ([u'au n" i8, Ev. 1, trouver rtH|ualion du cercle passant par l'origine et les milieux des côtés C\ et CB, et montrer qu’il passe aussi par le milieu de la base AB.
Réponse. a/> ( j:’ -t- v') — /<( v — .r' ) .r — ( /P -!-.«') »• = o.
*9V. Exprimer l'f.pialion du cercle pussuul parles trois points [x',y'), (x", y" ), (x", r"), en fonction des coordonnées de ces points.
On n’a qu’à substituer dans
.r’ -l-,f’ -I- 2gx 4- i fy 4- r = O, les valeurs de g,f, c, déduites des é(|uations
( x'= 4- y'^ ) 4- 2 gx' 4- if y 4- c = O,
{x"’4-.k"’) 4- 2 gx" 4- ify' 4- r = O,
(x^’-t- r*') 4- 2 ^x"'4- ify"'+ c ~ O.
On trouve ainsi pour l’équation chercbéc
— (x'’4-j’’)[x''(/'— 4-x"(r -)^)-yx (r"—
