CHAPITRE VI

comme on peut le voir en multipliant respectivement chacune (les quatre ('quations primitives par les facteurs de {x^ -hy''),- . dans les dernières équations, et ajoutant ensemble les résulats obtenus; car alors les quantités g,f, c, s’évanouissent.

Si l’on veut trouver la condition pour que quatre points soient sur un m(''me cercle, il suffit de remplacer, dans la dernière équation, x, y, par les coordonnées x,.y„ du quatrième point. On arrive ainsi à une condition qu’on peut interpréter géométriquement de la manière suivante : si A, B, C et D sont quatre points situés sur un meme cercle, O étant un cinquième jioint quelconque, on aura

ÔÂ' . Bci) -i-Th:’ . abd = ob’ . acü -f- ôT)’ . abc,

BCD représentant l’aire du triangle BCD.. . .

'.•5. Equalion polairr du cerclf.

On peut trouver l’équation polaire du cercle, en rempla- (’ant X et y par p cos5, psinOln" 12), dans l’une ou l’autre des équations connues

a ( x’ -I- J’’ -f- if y -t- c = o, (x — — p)’= /•’;

mais on peut .aussi l’obtenir directement en parlant de la définition même du cercle.

Soient en effet O le pôle {fg. 4"'* centre du cercle, OC l’axe fixe,

Fi(f. ^0.

;■ le rayon et d la distance OC. Menons un rayon vecteur OP, joignons PC, on a

PC’ = ÔP’-I-ÔC’- aOP.OC cosPOC, ou, en faisant OP = p, angle POC= 0;

r’=p’-t-d’— aprfeosO;

DU CEBCLE.

par suite, l’équation polaire du cercle est

p’ — 2p</ cos 0 -t- r/’ — /•’ r= O.

F,orsque le pèle est sur le cercle, on a ; ’= r/’, et l’équation se réduit à la forme la plus simple

p= 2CCOs0.

On aurait pu arriver immédiatement à ce résultat, en observant que l’angle inscrit dans une demi -circonférence est droit, ou bien eu substituant à x et y leurs valeurs en coordonnées polaires, dans l'é(juation (79)

x‘ -I- y’ = 2 rx.

Lorsciuc l’axe fixe ne coïncide pas avec OC, mais fait avec cette droite un angle a, on trouve ( VI) pour l’équation du cercle

p’ — 2pf/ COs( 0 — a) -I- (/’ — c’= O.