CHAPITRE VII

II. Trouver le lieu de l'intersertion des langenles menées aux extrémités d'une corde de longueur oonstanle.

Bépoxse. En efTecluant la substitution indiquée plus haut dans

( jr’ — J'' )’ -I- ( >•' — = const.,

on trouve

cos(0'— 0') = const., ou 0'— &'= const.

I.ors(]u'on donne la longueur de la corde arsin^, on a V — 0'= aJ, et le.s coordonnées trouvées à l'Exercice précédent satisfont à la relation

(x’-f- r ’) cos’o = rV

III. Quel est le lieu du point où une corde de longueur constante est coupée dans un rapport donné?

ItÉPoxsE. En écrivant (n° 7) les valeurs des coordonnée.s de ce (loint, on voit qu’elles satisfont à la relation

x’ = const.

103. Nous avons vu que la tangente au cercle x’-ia pour équation

X cos 0 -+- >-sin 5 = /•;

on verrait de même que celle de la tangente au cercle

est

{x — x) cosO 4- (.K — (3) sin 5 = /•.

Réciproquement, si l’équation d’une droite renferme une indéterminée 6 sous la forme

(x — a) cos 6 -I- {y — |3)sinô = r,

cette droite est tangente au cercle (x — a)’ 4- y — p)’=r*.

EXERCICES

1, Si une corde de longueur constante est inscrite dans un cercle, elle est conslamment tangente à un autre cercle.

TBfiORtMBS ET PROBLftMES SUE LE CERCLE.

En effet, dans l'équation de cette corde

xcosi(9'-t- 6’) -i- vsin^(9'-(- V] = rcos^ (9'— 9'),

l’angle 9’— 9”= est connu, et 9' -i- 6" est indéterminé : la corde louche donc toujours le cercle x’ -t- >•’ = r’ cos’^.

II. Si la somme des distances d’un certain nombre de points fixes “ U**® droite, multipliées chacune par un facteur constant™', est constante, cette droite est constamment Uingente

à un cercle.

Cet énoncé ne diffère de celui du n° 80, Ex. IV, qu’en ce que la somme est constante au lieu d’étre nulle; en employant les mêmes notations, on trouve, pour l’équation de la droite,

[xî(/«) — î(//ix’)] COSa -t- [>'3{/h) — sina = const.

Elle est constamment tangente au cercle

ï(wx')~]’ r

const..

qui a pour centre le centre des distances proportionnelles du système des points donnés.

104. Nous terminerons ce Chapitre par quelques problèmes relatifs à l'emploi des coordonnées polaires.

EXERCICES

I. Le rectangle construit sur les segments OP. 01’’, déterminés par un cercle de centre 0 sur une sécante quelconque issue d'un |>oint fixe 0, est constant.

Prenons le point fixe O pour pèle, l’équation du cercle sera (95) p’ — ap’f/cos9 -I- //' — r’ = o.

Les racines de celte équation sont évidemment les valeurs OP, OP' des rayons vecteurs correspondant à une valeur donnée de 9.

D’après la théorie des équations on a OP.OP' = — r’; ce rectangle est

indépendant de 9 et, par suite, constant, quelle que soit la direction suivant laquelle soit menée la sécante. Si le (Kiint 0 est en dehors du cercle, le rectangle devient égal au carré de la tangente r’).