GB ■ DB GB.DA

En particulier, si les points G et D divisent harmoniquement le segment AB, le rapport anharmonique (ABGD) est égal à — 1.

11. Remarque. — Si les trois points A, B, G sont donnés ainsi que la valeur du rapport anharmonique (ABGD), le point D est

(1) Les n°s entre crochets sont des renvois aux paragraphes de la partie Géométrie élémentaire .

déterminé ; soit X ]a valeur du rapport anharmonique ; on aura

l - -^ ' — DA j CA

"" CB ■ DB"' ^^^ DB"~r'CB'

l)A Le rapport -— ^ étant connu, le point D est déterminé [270]. DB

Le point D vient en A si X est infini, en B si X est nul^ en

XI si X est égal à 1. Dans tous les autres cas, D est distinct des

points A, B, G.

• 12. Valeurs diverses du rapport anharmonique de quatre points quand on change l'ordre dans lequel les points sont placés. — En plaçant les points A, B, C, D dans un ordre quelconque, de toutes les manières possibles, on obtient vingt-quatre groupements différents (nombre des permutations de quatre objets). Avec les quatre mêmes points A, B, G, D, on peut donc former vingt-quatre rapports anharmoniques. Pour trouver les relations qui existent entre ces rapports anharmoniques, nous nous appuierons sur les remarques suivantes :

Remarque 1. — Le rapport anharmonique ne change pas si l'on permute deux quelconques des points, pourvu qu'on permute en même temps les deux autres.

On vérifie, en effet, que l'on a

(ABGD) = (BADG) = (GDAB) = (DGBA) = -^g^^-

Remarque IL — Si l'on permute entre eux les deux premiers points, sans changer les autres, le nouveau rapport anharmonique est l'inverse de l'ancien.

En effet

..^^ CAxDB GBxDA