COUPLES

peut procéder ainsi : faire d'abord la somme des moments des deux vecteurs du couple (Ci), ce qui donne l'axe OGi de ce couple; puis celle des moments des deux vecteurs du couple (G2), ce qui donne Taxe OG2 de ce couple, etc., et ensuite faire la somme (OG) de (OGi), (OG,), ...,(0G„). Donc:

Un nombre quelconque de couples forme un système équivalent à un couple unique appelé couple résultant. L'axe du couple résultant est la somme géométrique des axes des couples donnés.

Les couples donnés sont les couples composants du couple résultant.

La loi décomposition et de décomposition des couples, quand on introduit leurs axes, est donc la même que celle des vecteurs concourants.

252. Théorème. — Un système quelconque de vecteurs est équivalent à un vecteur unique passant par un point arbitrairement donné 0 et à un couple.

En effet, soient OR la résultante générale et OG le moment résultant par rapport au point 0 d'un système (S) ; soit P un couple ayant pour axe OG (250). Le système formé de OR et du couple (P) admet comme résultante générale OR, et comme moment résultant par rapport au point 0 le vecteur OG ; donc il est équivalent (239) au système (S).

253. Si le point 0 est donné, la réduction du système à un vecteur passant par 0 et à un couple ne peut se faire que d'une seule manière. {Dans cet énoncé on ne considère pas comme distincts deux couples équivalents).

En ettet, soient OR' un vecteur et (P'j un couple dont l'ensemble est équivalent au système (S), OG' l'axe du couple (F) ; le système formé de (OR') et du couple (P') a pour résultante générale (OR') et pour moment résultant par rapport à 0, (OG'); pour qu'il soit équivalent au système (S), il faut que (OR') coïncide avec (OR) et (OG') avec (OG) ; donc la réduction indiquée n'est possible que d'une seule manière.

Kig. 129.

Propriété de l'axe central. — Soit OC Taxe central d'un système de vecteurs (/?.9'. 129) ; la résultante générale OR et le moment résultant OG par rapport au point 0 sont portés (237) sur la droite OC ; le plan du couple relatif au point 0 est donc perpendiculaire au vecteur OR. Donc:

Le lieu des points 0 pour lesquels on peut réduire un système de vecteurs à un vecteur unique (OR) et à un couple (P) dont le plan est perpendiculaire à (OR) est l'axe central du système.

Vecteurs parallèles.

255. Composition de deux vecteurs parallèles et de même sens. — Soient AP et RQ deux vecteurs parallèles et de même

sens [fig. 130); adjoignons au système les deux vecteurs opposés AF et RE; AF et AP ont une résultante AH; RQ et RE, une résultante RG. Les deux droites AH et RG se rencontrent en 0; on pourra composer en un seul ces deux vecteurs concourants. On ramène ainsi le système à un vecteur OR que nous allons déterminer.

OR forme un système équivalent aux deux vecteurs P et Q, et par suite, en projetant sur un axe quelconque, on aura pr. OR = pr. AP -h pr. RQ.

Si l'on projette sur une direction perpendiculaire à AP et RQ, les projections de AP et de RQ sont nulles, donc la projection de OR est nulle ; par conséquent, OR est parallèle aux vecteurs

Fig. 130.

AP, BQ. En projetant sur une direction parallèle à AP, on

trouve

OR = AP+BQ.

II suffit donc maintenant de trouver un point de la droite OR; déterminons le point G où OR rencontre AB. Pour un point quelconque de l'espace, on a

m' OR = (m' AP) --f- (m^ BQ) ;

en l'appliquant au point G, on trouve

PxGA-i-QxGB = 0.

Donc :

Deux vecteurs parallèles et de même sens sont équivalents à un vecteur unique qu'on appelle leur résultante. La résultante est parallèle aux vecteurs, égale à leur somme et rencontre la droite qui joint les points d'application A e^ B des vecteurs V et Q en un point G, tel que

FxGA + QxGB = 0.

256. Remarque. — Quand les vecteurs F et Q tournent autour de A et B, en conservant leur grandeur et en restant parallèles, le point G ne change pas. La résultante OR conserve donc sa grandeur et tourne autour du point G, C'est à ce point G que nous donnerons le nom de point d'application de la résultante. Dorénavant, quand nous composerons deux vecteurs parallèles, nous placerons toujours l'origine de la résultante à son point d'application.

.257. Décomposition d'un vecteur en deux autres parallèles.

- Entre les vecteurs parallèles P, Q, leur résultante R et les points d'application A, B, G de ces vecteurs existent les deux relations

R = P+Q, PxGA+QxGB=0.

Ges deux relations permettent de déterminer deux éléments. On peut se donner par exemple R, A, B, G et chercher P et Q; on peut aussi se donner R, P, A, G et déterminer B et Q, etc.