Composition de vecteurs parallèles et de même sens

— Considérons un nombre quelconque de vecteurs parallèles et de même sens ; plaçons ces vecteurs dans un ordre quelconque. Composons le premier vecteur avec le second, puis la résultante obtenue avec le troisième, puis cette nouvelle résultante avec le quatrième, etc., en prenant les vecteurs dans l'ordre où ils sont placés et en appliquant toujours la règle du n° 2o6. On arrivera à une résultante R parallèle à la direction des vecteurs, égale à leur somme et appliquée à un certain point G.

261. Remarque. — En appliquant de proche en proche la remarque du n^ 256, on voit que si tous les vecteurs donnés tournent autour de leurs points d'application en conservant leur grandeur et en restant parallèles, la résultante R tournera autour du point G.

Cela posé, si l'on compose les vecteurs donnés en les plaçant dans un autre ordre, on arrivera à une résultante R' appliquée à un point G'; je dis que G' coïncide avec G.

En effet, les vecteurs R et R' étant tous deux équivalents au système donné sont équivalents ; ces vecteurs sont par conséquent portés sur une même droite, donc la droite GG' est parallèle aux vecteurs donnés. Mais les points G et G' ne changent pas si l'on change la direction de tous les vecteurs, la droite GG' devrait être parallèle à une droite quelconque ; donc les points G et G' sont confondus.

Ce point G est le point d'application du système des vecteurs. Dorénavant, quand nous composerons un nombre quelconque de vecteurs parallèles et de même sens, nous mettrons toujours l'origine de la résultante à son point d'application.

Partageons le système donné en plusieurs groupes; composons les vecteurs de chacun des groupes en appliquant la remarque précédente, puis composons les résultantes partielles ainsi obtenues ; on trouvera comme point d'application de ces résultantes

partielles le point d'application G du système. Le raisonnement est identique à celui qui vient d'être fait plus haut.

262. Composition d'un nombre quelconque de vecteurs parallèles. — Considérons des vecteurs parallèles à une droite D, dirigés les uns dans un sens, les autres dans l'autre; fixons sur la droite D une direction positive, nous donnerons le signe -+- aux vecteurs dirigés dans le sens positif, le signe — aux autres.

Gela posé, composons en un seul tous les vecteurs positifs ; nous obtiendrons une résultante Ri, égale à leur somme et appliquée à un point Gi. Composons de même tous les vecteurs négatifs; on obtient une résultante R',, égale à leur somme et appliquée en un point G^. Les droites Ri et R[ sont parallèles et de sens contraires. Cela posé, nous considérerons les cas suivants :

1° La somme algébrique des vecteurs donnés n'est pas nulle. — Les vecteurs Ri et Ri n'ont pas la même grandeur; ils admettent (258) une résultante R, appliquée en un point G. Cette résultante R est parallèle à la droite D, égale à la somme des valeurs algébriques des vecteurs donnés.

Si tous les vecteurs donnés tournent autour de leurs points d'application en conservant leur grandeur algébrique et en restant parallèles, la résultante R tourne autour du point G. Ce point G est le point d'application du système de vecteurs.

2° La somme algébrique des vecteurs est nulle. Les vecteurs Ri et R^ sont égaux et de sens contraires; deux cas peuvent se présenter :

L — Gi et G'i sont distincts.

Si la droite D est parallèle à GiGj, les vecteurs Ri et R; sont opposés, le système est équivalent à zéro.

Si la droite D n'est pas parallèle à GiG'i, le système est équivalent à un couple.

IL — Gi et G[ sont confondus.

Rj et R'i sont opposés, le système est équivalent à zéro. Il reste

équivalent à zéro si tous les vecteurs tournent autour de leurs points d'application en conservant leurs grandeurs algébriques et en restant parallèles. Un tel système est un système nul asiatique .

263. Remarque. — Considérons le cas où la somme des vecteurs n'est pas nulle. Si Ton place les vecteurs du système dans un ordre quelconque et qu'on les compose de proche en proche, c'est-à-dire le premier avec le second, puis la résultante obtenue avec le troisième, etc., on arrivera toujours au même point d'application G. Il faut toutefois introduire cette restriction : l'ordre doit être tel que les opérations indiquées soient possibles, c'est-à-dire qu'on ne soit jamais amené à composer deux vecteurs dont la somme algébrique est nulle.

Avec cette même restriction, on peut former des groupes dans le système donné d'une manière quelconque, composer en un seul les vecteurs de chaque groupe, puis composer les résultantes partielles; on arrive toujours au même point d'application G.

Ce point d'application s'appelle aussi le centre du système de vecteurs.

264. Centre des distances proportionnelles. — Soit A, B, C, . . . un système quelconque de points ; affectons chacun de ces points d'un coefficient positif ou négatif, ce coefficient est ce qu'on appelle la masse du point; soient a, p, y, ... ces coefficients. Nous nous placerons dans le cas où la somme des masses a + p H- y + . . . est différente de zéro.

Cela posé, soit D une droite quelconque ; appliquons à chacun des points du système un vecteur parallèle à D, ayant une valeur algébrique égale à la masse de ce point. Le système de vecteurs ainsi obtenu admet une résultante 11 parallèle à D, égale à la somme des masses des points du système et appliquée au centre G du système de vecteurs.

Ce centre G qui ne dépend pas de la droite D est le centre des masses du système ou encore le centre des distances propor-

tionnelles des points A, B, C, ..., affectés des coefficients

Lorsque tous les coefficients sont égaux, ce centre s'appelle le centre (/es mo^/enjies rfisfances des points du système.

Dans la recherche du centre d'un système de masses, on peut remplacer un groupe quelconque de points par le centre de ce groupe, en donnant à ce centre une masse égale à la^somme des masses des points du groupe (263).

Le centr-e de deux masses se construit en appliquant la règle de composition de deux vecteurs (25S) et (258).

L'ensemble de ces deux règles permet de construire, de proche en proche, le centre d'un système de masses.

Quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les opérations, quelle que soit la façon de grouper les points du système, on arrive toujours au même résultat, pourvu, bien entendu, que les opérations restent possibles, c'est-à-dire qu'on ne soit jamais amené à trouver le centre de deux masses égales et de signes coniraires.

265. Applications. — 1° Considérons trois masses égales à l'unité, placées aux sommets d'un triangle ABC {fig. 132). Le

centre des masses B et G est placé au milieu a de BG. Le centre du système est le même que celui d'une masse 1, placée en A, et d'une masse 2, placée en a; ce centre G est donc sur la médiane Aa, au tiers de cette médiane à partir du point a. Ge

centre étant indépendant de l'ordre dans lequel on place les points, on a le résultat suivant :

Les médianes d'un triangle se rencontrent en un point qui est situé au tiers de chacune d'elles à partir de la base.

Ce point de rencontre des médianes s'appelle le centre de gravité du triangle.

2° Considérons quatre masses égales à l'unité, placées aux sommets d'un tétraèdre ABCD [fig. 133). Nous pouvons d'abord former les deux groupes de points (A, B) et (C, D) ; le premier groupe se remplace par une masse 2 placée au milieu % de AB, le second par une masse 2 placée au milieu X de CD ; donc le centre G du système est le milieu de la droite ^X, qui joint les milieux des arêtes opposées AB et CD.

Formons les deux groupes de points A et (B, C, D) ; le second groupe peut être remplacé par une masse égale à 3, placée au centre de gravité a de la face BCD. Le centre G se trouve donc sur la droite Aa, au quart de cette droite à partirde la face BCD.

Donc :

Les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre se rencontrent en leurs milieux.

Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux centres de gravité des faces opposées se rencontrent en un point situé au quart de chacune d'elles à partir de cette face.

Ces deux points de rencontre coïncident.

266. Théorème de Leibnilz. — Soient Ai, A2, . . . , A„ un système de points ayant pour masses respectives a,, ag, ...ja^, a la masse totale du système supposée diff'érente de zéro^ G le centre de ce système de masses, M un point quelconque. On a

S^ai.lÂ' = a.MG' -^ S';a,.GÂ •.

Pour établir ce théorème, nous nousappuyeronssurle lemme suivant :

Lemme. — Soient ABC un triangle, H la projection de A sur BC ; on a, en tenant compte des signes des segments,

Âb' = ÂC' ^ BC' — 2CB X CH.

Il suffit pour rétablir de se reporter à la première partie [329] et [330] et de remarquer que si l'angle G est aigu, le produit CB X CH est positif, et que si. l'angle G est obtus, ce produit est négatif.

Gela posé, nous démontrerons le théorème d'abord dans le cas

de deux points. (Dans ce cas particulier, le théorème est ideii-

tique à celui qui est connu sous le nom de théorème de Stewart).

Soient A et B deux points ayant respectivement pour masses

a et p {fig. 134), G leur centre, M un point quelconque, H la projection de M sur la droite AB.

On a (lemme)

ma' = MC' H- CÂ' — 2GA.GH, MB' = MG' -h CB' — 2GB.GH.

Multiplions la première de ces équations par a, la seconde par ^, et ajoutons membre à membre ; on aura

«.MF -+- [i.MB' = (a -^ pJMC' ^ a.GÂ' H- p.GË'

— 2GH[a.GA-|-p.GB].

Mais G étant le centre des masses A et B, on a

a.GA + p.GB = 0; donc :

a.MÂ' -4- ^.MB' = (a -^ P)MG' -f- a.GÂ' + p.GÊ',

ce qui démontre le théorème dans le cas particulier de deux masses.

Pour démontrer que le théorème est général, il suffit de montrer que, s'il est vrai pour (n — 1) points, il est vrai pour n points. Supposons donc que le théorème soit vrai pour les (n — 1 ) points Ai, A25 . . . , A„i {on peut toujours prendre dans le système n — 1 points dont la masse totale n'est pas nulle) ; soient a' leur masse totale, G' leur centre ; on aura, par hypothèse,

(1) ■ S7'«^MÂ1= a'.Gl'-i-S^^«,.G^I.

D'autre part, G est le centre d'un système formé d'une masse

a' en G' et d'une masse a„ en A„ ; donc

(2) a'.MG'' -h «„.MÂ' = a.MG' -h a'.GG'' -h a„.GÂ^.

En appliquant la formule (d) au cas où M est placé en G et en intervertissant les deux membres, on aura

(3) a'.GG'VC'^^^' = C'^-^'-

Ajoutons membre à membre les égalités (1), (2), (3) et simplifions ; on aura

(4) S>,.MÂ- = a.MG'-i-S>,.GÂ', ce qui démontre le théorème.

267. Problème. — Étant donnés n points quelconques Ai, Aj, , . ., A„, et les coefficients *,, a^, ...,«„ attachés à chacun de ces points, trouver le lieu des points M tels que la somme

soit égale à une constante donnée k.

Nous distinguerons deux cas :

1° La somme des coefficients ai + aj-h ••• -t-a,i n'est pas nulle.

Soient a cette somme, G le centre du système de masses ; l'équation (4) donne

a.MG' = )t — 2;';a,.GÂ^

Cette équation montre que MG est constant ; le lieu est donc une sphère ayant pour centre le centre G du système et dont le rayon R est donné par la formule

aR2 = A; — S';a..GÂ"-.

Pour que le lieu existe, il faut que l'on ait

A>S';a,.GÂ^ .

2° La somme des coefficients aj h- a2-t- ••• 4- a^ esf nulle.

Formons dans le système de points Aj, Ao, . . ., A^ deux groupes Bi, B2, ..., Bp et Cl, €-2, ... Gj, tels que la somme des masses des points de chaque groupe ne soit pas nulle. (On pourra, par

exemple, mettre dans le premier groupe tous les points qui ont une masse positive, dans le second ceux qui ont une masse négative.) Désignons par pi, po, • ■ • , '^p les masses des points Bi, Bo, . . ..Bp-, par Yi, Ya, . . ■ , Yî celles des points Ci, G2, . . . , Cq ; si h est la masse totale des points du premier groupe, celle des points du second groupe sera — h.

Cela posé, les points Bi, B2, . . . , B^; Ci, G2, . . ., C5 sont, à l'ordre près, les mêmes que les points Ai, A2, . . ., A»; de même les coefficients pi, ^2, • • ., ^pl Ti, Ï2, • • • , y? sont, à l'ordre près, les mêmes que les coefficients aj, a, , . . . , a„; donc on aura

(5) S>.- . MA' = Sf ^.- . IB' -H sJy^- . MG ■.

D'autre part, si Gi et G2 sont les centres respectifs des groupes

(Bi, . . . , B,), (Gi, . . . , G,), on aura (266)

(6) sf^.-.MB;: = h.mi -H sf ^.■.g;b--

(7) l\yi.MC]=~h.ml-+-llyi.G^l

Des équations (5), (6), (7), on déduit ^ (8) ■ S';a,-.MÂ' = hiÏÏG^ — mï) + S^;i3,-.G;B^- + I^l^i.GSl En écrivant que le premier membre est égal à k, on aura

h{ml — mg!) = k — i;f p.- . gIb' — s^y^ -^l

On voit que la différence MGi — MG2 doit être constante. Il en résulte que le lieu du point M est un plan perpendiculairiB à la droite G1G2 [339] et [707].

J. Moment par rapport à un plan. — Tous les vecteurs que l'on considère dans cette théorie sont parallèles à une même droite D ; fixons un sens sur D. A chaque vecteur, nous ferons correspondre un nombre algébrique ayant pour valeur absolue la longueur du vecteur ; ce nombre sera positif ou négatif selon que le vecteur sera de sens positif ou de sens négatif.

Soit maintenant t: un plan quelconque ; ce plan partage l'espace en deux régions : l'une sera appelée la région positive, l'autre la région négative. La distance d'un point au plan ir est

Fig. 135.

un nombre algébrique ayant pour valeur absolue la longueur de la perpendiculaire menée du point au plan ; ce nombre sera positif ou négatif selon que le point sera dans la région positive ou dans la région négative.

Gela posé : . .

Le moment d'un vecteur par rapport à un plan est égal au produit de la valeur algébrique du vecteur par la valeur algébrique de la distance de son point d'application au plan.